Równania wymierne z parametrem PILNE !

[cFFaniak]

Zad 1
dla jakich wartości parametru m ( tex] m \in R[/tex]) zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{(m+2)x^2+x+m+2}{x^2-(m+5)x+9} < 0\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Zad 2
O funkcji wymiernej \(W(x) = \frac{x^2+(m+1)x+1}{x^2+x-2m+1}\) wiadomo, że jej dziedziną jest zbiór R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m \(\in\) R, dla których funkcja W ma dwa różne miejsca zerowe x1,x2 takie że \(\frac{1}{x1+x2} > \frac{1}{4}\)

Zad 3
Dla jakich wartości parametru m \(\in\) R zbiór rozwiązań nierówności \(x^2+(m-1)x+m^2 \le 0\) zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności \(\frac{x-1}{x+1} <0\)

[eresh]

Zad 1
dla jakich wartości parametru m ( tex] m \in R[/tex]) zbiorem rozwiązań nierówności \(\frac{(m+2)x^2+x+m+2}{x^2-(m+5)x+9} < 0\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

\((m+2)x^2+x+2+m<0\;\;\wedge\;\; x^2-(m+5)x+9>0\)

I.
\((m+2)x^2+x+2+m<0\\\)
1. \(m+2<0 \So m<-2\)
2. \(\Delta<0\)
\(1-4(m+2)(2+m)<0\\
1-(2(m+2))^2<0\\
(1-2(m+2))(1+2(m+2))<0\\
(2-2m-4)(1+2m+4)<0\\
(-2m-2)(2m+5)<0\\
(m+2)(2m+5)>0\\
m\in (-\infty, -\frac{5}{2})\cup (-2,\infty)\)

I. \(m\in (-\infty, -\frac{5}{2})\)

II
\(x^2-(m+5)x+9>0\\
\Delta<0\\
m^2+10m+25-36<0\\
m^2+10m-11<0\\
(m-1)(m+11)<0\\
m\in (-11,1)\)

z I i II mamy
\(m\in (-11,-\frac{5}{2})\)

[eresh]

Zad 2
O funkcji wymiernej \(W(x) = \frac{x^2+(m+1)x+1}{x^2+x-2m+1}\) wiadomo, że jej dziedziną jest zbiór R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m \(\in\) R, dla których funkcja W ma dwa różne miejsca zerowe x1,x2 takie że \(\frac{1}{x1+x2} > \frac{1}{4}\)

I. \(x^2+x-2m+1=0\) nie ma rozwiązań
\(\Delta<0\\
1-4(-2m+1)<0\\
1+8m-4<0\\
8m<3\\
m<\frac{3}{8}\)



II. \(x^2+(m+1)x+1=0\) ma dwa miejsca zerowe takie że \(\frac{1}{x_1+x_2}>\frac{1}{4}\)

1. \(\Delta>0\)
\(m^2+2m+1-4>0\\
m^2+2m-3>0\\
(m-1)(m+3)>0\\
m\in (-\infty, -3)\cup (1,\infty)\)

2.
\(\frac{1}{x_1+x_2}>\frac{1}{4}\\
\frac{1}{\frac{-b}{a}}>\frac{1}{4}\\
\frac{a}{-b}>\frac{1}{4}\\
\frac{1}{-(m+1)}>\frac{1}{4}\\
\frac{-4}{m+1}>1\\
\frac{-4-m-1}{m+1}>0\\
(m+5)(m+1)<0\\
m\in (-5,-1)\)

II.\(m\in (-5,-3)\)

z I i II mamyL \(m\in (-5,-1)\)

[eresh]

Zad 3
Dla jakich wartości parametru m \(\in\) R zbiór rozwiązań nierówności \(x^2+(m-1)x+m^2 \le 0\) zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności \(\frac{x-1}{x+1} <0\)

\(\frac{x-1}{x+1}<0\\
(x-1)(x+1)<0\\
x\in (-1,1)\)

\(x^2+(m-1)x+m^2\leq 0\)

1. \(\Delta< 0\)
lub
2. \(\Delta = 0\;\; \wedge \;\;-1\leq x_0\leq 1\)
lub
3. \(\Delta>0\;\; \wedge -1\leq x_1<x_2\leq 1\)