Stereometria

[monika45]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu podanych zadań ...

zad. 1
Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jednego z boków. Jaką objętość ma powstała bryła?
Zad. 2
Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jego przekątnej. Jakie pole powierzchni ma powstała bryła?
zad. 3
Stosunek długości dwóch krawędzi prostopadłościanu o wspólnym wierzchołku wynosi 2 : 3 : 5. Jakie jest pole powierzchni tego prostopadłościanu, jeśli jego objętość wynosi 810?
zad.4
Stalowy walec o objętości 36 pi cm sześciennych przetopiono na kulki o promieniu 3 mm. Ile takich kulek otrzymano?
zad. 5
Z wycinka kołowego o powierzchni 72 pi i promieniu 12 zwinięto powierzchnię boczną stożka. Ile wynosi jego objętość?
zad. 6
Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość 1. Ile wynosi jego objętość?
zad. 7
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długośc wysokości H=5. Miara kąta, jaki tworzy krawędź boczna tego ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, jest równa 45 stopni. Ile wynosi pole podstawy tego ostrosłupa?

[marcin77]

zad. 1
Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jednego z boków. Jaką objętość ma powstała bryła?

Powstanie walec o wysokości H=2 i promieniu podstawy r=2
\(V= \pi r^2H=8 \pi\)

[marcin77]

Zad. 2
Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jego przekątnej. Jakie pole powierzchni ma powstała bryła?

Powstanie bryła złożona z dwóch stożków "sklejonych podstawami". Pole powierzchni będzie równe podwojonej powierzchni bocznej stożka o niżej podanym r i l.
\(l=2
r= \frac{2 \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}
P=2 \pi rl=4 \pi \sqrt{2}\)

[marcin77]

zad.4
Stalowy walec o objętości 36pi cm sześciennych przetopiono na kulki o promieniu 3 mm. Ile takich kulek otrzymano?
\(V_w=36 \pi cm^3
r=3mm=0,3cm
V_k= \frac{4 \pi r^3}{3}= \frac{4 \pi 27}{3000}= \frac{9 \pi }{250}
n= \frac{V_w}{V_k}= \frac{36 \pi}{\frac{9 \pi }{250}}=1000\)

[irena]

3.
a=2x
b=3x
c=5x

\(abc=810\\2x\cdot3x\cdot5x=810\\30x^3=810\\x^3=27\\x=3\\a=6\\b=9\\c=15\)

Pole powierzchni:
\(P_p=2(ab+ac+bc)\\P_p=2(6\cdot9+6\cdot15+9\cdot15)=2\cdot279=558\)

[irena]

5.
\(\pi\ rl=72\pi\\l=12\\r=6\\H^2+r^2=l^2\\H^2=144-36\\H^2=108\\H=6\sqrt{3}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot36\cdot6\sqrt{3}\\V=72\pi\sqrt{3}\)

[irena]

6.
\(H^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=1^2\\H^2=\frac{1}{2}\\H=\frac{\sqrt{2}}{2}\\V=\frac{1}{3}\cdot1^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}\)

[irena]

7.
\(\frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=tg45^o\\\frac{a\sqrt{2}}{2}=5\\a=5\sqrt{2}\\P_p=a^2\\P_p=50\)