Wyznaczyć dystrybuantę mieszaniny oraz wartość przeciętną

[Hera]

Zadanie ze zbioru "Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz. 1, Włodzimierz Krysicki, Jerzy Bartos, Wacław Dyczka"

Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie orłów wyrzuconych na dwóch monetach, Y zaś zmienną losową o rozkładzie równomiernym w przedziale <-1,1>. Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę mieszaniny tych rozkładów, przyjmując ich udziały odpowiednio równe: \(p_1 = \frac{1}{2}, p_2 = \frac{2}{3}\). Obliczyć wartość przeciętną w wyznaczonym rozkładzie.

Pozdrawiam

[eresh]

rozkład zmiennej X:
\(\begin{array}{c|c|c|c|}p&0&1&2\\ \hline P(X=p)&0,25&0,5&0,25\end{array}\)
dystrybuanta:
\(F_d(x)=\begin{cases}0\mbox{ dla }x\leq 0\\0,25\mbox{ dla }0<x\leq 1\\ 0,75\mbox{ dla }1<x\leq 2\\1\mbox{ dla }x>2\end{cases}\)

rozkład zmiennej Y
\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\mbox{ dla }x\in [-1,1]\\0\mbox{ dla }x\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty)\end{cases}\)
dystrybuanta:
\(F_c(x)=\begin{cases}0\mbox{ dla }x\leq -1\\ \frac{x-(-1)}{1-(-1)}=\frac{x+1}{2}\mbox{ dla }-1<x\leq 1\\1\mbox{ dla }x>1\end{cases}\)

dystrybuanta mieszaniny:
\(F(x)=\frac{1}{3}F_d(x)+\frac{2}{3}F_c(x)\\
\mbox{ dla }x\leq -1\;\;\;F(x)=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot 0 = 0\\
\mbox{ dla }-1\leq 0\;\;\;F(x)=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{x+1}{3}\\
\mbox{ dla }0\leq 1\;\;\;F(x)=\frac{1}{3}\cdot 0,25+\frac{2}{3}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{1}{12}+\frac{x+1}{3}\\
\mbox{ dla }1\leq 2\;\;\;F(x)=\frac{1}{3}\cdot 0,75+\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{11}{12}\\
\mbox{ dla }x>2\;\;\;F(x)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1=1\)

[eresh]

\(\mathbb{E}X=\int_{0}^{\infty}[1-F(x+0)]\mbox{d}x-\int_{-\infty}^0F(x+0)\mbox{d}x\\
\mathbb{E}X=\int_0^1(1-\frac{1}{12}-\frac{x+1}{3})\mbox{d}x+\int_1^2(1-\frac{11}{12})\mbox{d}x+\int_2^{\infty}(1-1)\mbox{d}x-\int_{-\infty}^{-1}0\mbox{d}x-\int_{-1}^0\frac{x+1}{3}\mbox{d}x=\\
\left[\frac{11}{12}x-\frac{x^2}{6}-\frac{1}{3}x\right]_0^1+\left[\frac{1}{12}x\right]_1^2-\left[\frac{x^2}{6}+\frac{1}{3}x\right]_{-1}^0=\\=\frac{5}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)