1) Dane są dwa trójkąty: ABC oraz A'B'C' takie, że \(\alpha = \alpha '\) oraz\(\beta+\beta'\)=180. Wykaż, że: \(\frac{|AC|}{|BC|}\) = \(\frac{|A'C'|}{|B'C'|}\) .
2) Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(sin ^{2} \alpha =sin ^{2}\beta + sin ^{2} (\alpha + \beta)=180\) to trójkąt ten jest prostokątny.
3) Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\frac{a}{b} = \sqrt{2}\) to \(cos ^{2} \alpha =2cos ^{2} \beta-1\)
4) W trójkącie ABCD (AB||CD, |AB|>|CD|) jest wpisany w okrąg o promienu długości R. Wiadomo że kąt ostry trapezu ma miarę \(\alpha\) zaś \(| \angle ACB|=\beta\), gdzie AC jest przekątną trapezu. Oblicz długość a dłuższej podstawy tego trapezu oraz długość h jego wysokości.
5) W trójkącie ABC, w którym \(| \angle CAB|= \alpha\) , pooprowadzono dwusieczną CD kąta wewnetrznego ACB, przy czym\(| \angle CDA|= \beta\). Oblicz\(\frac{|AD|}{|DB|}\)
6) W trójkącie a
c=4:5:6. Korzystając ze wzoru\(cos2 \alpha =2cos ^{2} \alpha -1\), wykaż, że w tym trójkącie \(\gamma\)=\(2 \alpha\)Tutaj dochodze na sam koniec ale nie wychodzi mi.
7) W trójkącie rónoramiennym kąt przy wierzchołku ma miare 120. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
W trójkącie równoramiennym ABC (|AC|=|BC|) dwusieczna AD ma długość d a miara kąta ADB wynosi \(\alpha\). Oblicz długość promienia okregu wpisanego w ten trójkąt. 9) Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa podwojonej sumie kwadratów długości boków.
10) Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.
11) Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 4cmm a miara kąta pomiędzy tymi bokami 60. jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta.
12)Wykaż, że jezeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(sin \alpha =2cos\gamma*sin\beta\)to trójkąt ten jest równoramienny.
13) Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(sin \alpha = \frac{sin\beta+sin\gamma}{cos\beta+cos\gamma}\) to trójkąt ten jest prostokatny.
