Gimnazjum kl.3 Zadanie

[gumis102]

Zacieniowany czworokąt jest równoległobokiem. Uzasadnij, że trójkąty ABC, DBE, FEC są podobne. Oblicz długości boków równoległoboku i trójkąta ABC.

[Galen]

Trójkąt ABC jest prostokatny
DE jest równoległe do AC i FE jest równoległe do AB,to masz katy odpowiadające równe:
\(\angle CAB= \angle CFE= \angle EDB\)
Analogicznie
\(\angle CBA= \angle CEF\)
Trójkąty:CFE ,EDB i CAB są podobne zgodnie z cechą podobieństwa (k;k;k).
Odpowiednie boki są więc proporcjonalne.
Z tw.Pitagorasa w DEB oblicz DE
\(|DE|^2+4^2=5^2\\
|DE|^2=25-16=9\;\;\;\;\;to\;\;\;|DE|=3\)
\(\frac{EB}{DE}= \frac{CE}{CF}\;\;czyli\;\; \frac{4}{3}= \frac{2}{CF}\;\;to\;\;4|CF|=6\;\; \So \;\;|CF|=1,5\)
|FE| oblicz z tw.Pitagorasa w CFE:
\(1,5^2+2^2=|FE|^2\\
2,25+4=|FE|^2\\
|FE|= \sqrt{6,25}=2,5\)
Długości boków równoległoboku:
\(|AF|=|DE|=3\;\;\;\;i\;\;\;\;|FE|=|AD|=2,5\)

Długości boków trójkąta ABC:
\(|AB|=|AD|+|DB|=2,5+5=7,5\\
|BC|=|BE|+|EC|=4+2=6\\
|AC|=|AF|+|FC|=3+1,5=4,5\)