1. Znajdź różnicę ciągu oraz \(a1\), jeśli \(a100 = 100\) i \(a102 = 104\). Prawwidłowa odpowiedź to \(r = 2\), \(a1 = -98\).
2. Wykaż, że jeśli \(an = n^2\) i \(bn = an+1 - an\) to ciąg (\(bn\)) jest ciągiem arytmetycznym. Tutaj nie ma podanej prawidlowej odpowiedzi.
3. W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz dziesiąty jest liczbą 2 razy większą niż wyraz piąty i zarazem liczbą o 2 większą od wyrazu piętnastego. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.Ja to zrobiłem tak:
\(\begin{cases}a10=x\\ a5=1/2x\\ a15=x+2 \end{cases}\)
\(\begin{cases}a1+9r=x\\ a1+4r=1/2x\\ a1+14r=x+2 \end{cases}\)
\(\begin{cases}a1+4r=1/2a1\\ a1+14r=a1+9r+2 \end{cases}\)
1/2 oznacza \(\frac{1}{2}\), nie wpisałem tego w kodzie w układach równań, ponieważ pojawiał się błąd.
Dalej nie mam pomysłów na te zadania...
Ciągi arytmetyczne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(a_{102}-a_{100}=2r\\2r=104-102\\2r=4\\r=2\)
\(a_1=a_{100}-99r\\a_1=100-99\cdot2\\a_1=100-198\\a_1=-98\)
2.
\(a_n=n^2\\a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1\\b_n=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1\\b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\\b_{n+1}=(n+2)^2-(n+1)^2=n^2+4n+4-n^2-2n-1=2n+3\\b_{n+1}-b_n=(2n+3)-(2n+1)=2\)
Dla dowolnej naturalnej dodatniej liczby n: \(b_{n+1}-b_n=2\), czyli \((b_n)\) jest ciągiem arytmetycznym.
\(a_{102}-a_{100}=2r\\2r=104-102\\2r=4\\r=2\)
\(a_1=a_{100}-99r\\a_1=100-99\cdot2\\a_1=100-198\\a_1=-98\)
2.
\(a_n=n^2\\a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1\\b_n=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1\\b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\\b_{n+1}=(n+2)^2-(n+1)^2=n^2+4n+4-n^2-2n-1=2n+3\\b_{n+1}-b_n=(2n+3)-(2n+1)=2\)
Dla dowolnej naturalnej dodatniej liczby n: \(b_{n+1}-b_n=2\), czyli \((b_n)\) jest ciągiem arytmetycznym.
