forum.zadania.info

Oblicz \(\begin{bmatrix}1&\lambda\\0&1\end{bmatrix}^n\).

Niech \(A=\begin{bmatrix}1&\lambda\\0&1\end{bmatrix}\). Sprawdzamy, że \[A^2=\begin{bmatrix}1&2\lambda\\0&1\end{bmatrix},\\ A^3=a\cdot A^2=\begin{bmatrix}1&3\lambda\\0&1\end{bmatrix}\] Zatem dowodzimy indukcyjnie, że \(A^n=\begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}\). Dla \(n=1,2,3\) już sprawdziliśmy, więc wykonujemy krok indukcyjny \(n\mapsto n+1\). Liczymy \[A^{n+1}=A\cdot A^n=\begin{bmatrix}1&\lambda\\0&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&(n+1)\lambda\\0&1\end{bmatrix}\]

Odpowiedź: \(\begin{bmatrix}1&n\lambda\\0&1\end{bmatrix}\)