Wartość oczekiwana

[Hikkomijian]

Witam serdecznie!
Mam olbrzymi problem z rozwiązaniem zadania. Pomimo licznych starań wychodzi mi (mi, i kilku innym osobom, jako, że nikt nie potrafi rozwiązać tego zadania) zły wynik.
Zwracam się z prośbą do Was, szanowni użytkownicy tego forum, o pomoc. Mam nadzieję, że choć tutaj znajdzie się osoba, która da radę to rozwiązać.
A oto zadanie:

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X o dystrybuancie


spacja0 dla x\leq1
F(x)=
spacja1-e^-x dla x>1

gdzie odpowiedź powinna być:
\sumX=1+e^-1

\sumX^2=1+4e^-1, stąd D^2X=2e^-1-e^-2

Jest to dla mnie bardzo ważne. Proszę o pomoc!

[Panko]

Twoje \(\sumX\) to jest \(E(X)\). Czy to są odpowiedzi absolutnie poprawne?

[Hikkomijian]

A tak, zgadza się.

Jeżeli zaś chodzi o odpowiedzi, to tak, są one poprawne - znajdują się w książce, z której wzięte jest to zadanie.

[Panko]

Jeżeli gęstość prawdopodobieństwa dana jest
\(f(x)=\begin{cases}0&\text{dla } x<1\\ e^{1-x}&\text{dla } x \ge 1 \end{cases}\)
to dystrybuanta tej zmiennej
\(F(x)=\begin{cases}0&\text{dla } x \le 1\\ 1-e^{1-x}&\text{dla } x > 1 \end{cases}\)

Natomiast jeżeli dla funkcji \(F(x)=\begin{cases}0&\text{dla } x \le 1\\ 1-e^{-x}&\text{dla } x > 1 \end{cases}\)
policzę gęstość( różniczkując) to czy ta < gęstość > spełnia warunek unormowania \(\int_{- \infty }^{+ \infty }f(x)dx=1\) \(?\)

[ida]

Rozwiązuję to zadaniem razem z Hikkomijian i naprawdę nie mamy pojęcia jak to zrobić;/

[ida]

zadanie*
Wartość oczekiwana wychodzi: całka od 1 do niskonczonosci x*e^-x dx. Już to widocznie jest źle. Nie wiem jak to policzyć;/