forum.zadania.info

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Łącząc odpowiednio środki ciężkości ścian ośmiościanu foremnego, otrzymujemy sześcian. Oblicz objętość tego szescianu, jeśli krawędź osmiościanu ma długość 4 cm.

dziekuję

Ścianami są trójkąty równoboczne \(a=4cm\). Środek ciężkości leży na wysokości ściany w odległości \(\frac{h}{3}= \frac{2 \sqrt{3} }{3}cm\) od jej podstawy, \(h= \frac{a sqrt3}{2}=2\sqrt3cm\) . W przekroju pionowym przez punkt ciężkości ściany powstanie trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(c=\frac{h}{3}= \frac{2 \sqrt{3} }{3}cm\) i przyprostokątnej \(b= \frac{A}{2}\) gdzie A - szukana długość krawędzi sześcianu zawartego w ośmiościanie \(sin \beta = \frac{b}{c}= \frac{A}{2c}\) gdzie \(sin \beta = \frac{ \sqrt{h^2-0,25a^2} }{h}= \frac{\sqrt6}{3}\)
\(\frac{ \sqrt{6} }{3}= \frac{A}{ \frac{4 sqrt3}{3} }
A= \frac{4\sqrt2}{3}cm
V=A^3= \frac{128\sqrt2}{27}cm^3\)