ZAD 1
rozwiąż równanie
a)\(\frac{2x-1}{5x+4}\)=2
b)\(\frac{3+2x}{x-5}\)=\(\frac{4x}{2x-1}\)
c)\(\frac{2}{2x+3}\) - \(\frac{x-1}{x-3}\)=0
d)\(\frac{x}{6-2x}\)=\(\frac{2}{x-3}\)
ZAD 2
rozwiąż nierówność
a)\(\frac{3-4x}{x+2}\)>0
b)\(\frac{1+5x}{2x-3}\)-3 ≤ 0
rownania i nierownosci wymierne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a)
\(\frac{2x-1}{5x+4}=2\)
Zastrzeżenia:
\(5x+4\neq0\\x\neq-\frac{4}{5}\)
Dziedzina równania: \(D_r= R \setminus \left\{-\frac{4}{5} \right\}\)
\(2x-1=2(5x+4)\\2x-1=10x+8\\-8x=7\\x=-\frac{7}{8}\in\ D_r\)
Odp: \(x=-\frac{7}{8}\)
b)
\(\frac{3+2x}{x-5}=\frac{4x}{2x-1}\)
Dziedzina równania:
\(x-5\neq0\ \wedge \ 2x-1\neq0\\x\neq5\ \wedge \ x\neq\frac{1}{2}\)
\(D_r=R \setminus \left\{5;\ \frac{1}{2} \right\}\)
\((3+2x)(2x-1)=4x(x-5)\\6x-3+4x^2-2x=4x^2-20x\\24x=3\\x=\frac{1}{8} \in D_r\)
Odp: \(x=\frac{1}{8}\)
c)
\(\frac{2}{2x+3}-\frac{x-1}{x+3}=0\)
Zastrzeżenia:
\(2x+3\neq0\ \wedge \ x+3\neq0\\x\neq-\frac{3}{2}\ \wedge \ x\neq-3\\D_r=R \setminus \left\{-\frac{3}{2};\ -3 \right\}\)
\(\frac{2(x+3)-(x-1)(2x+3)}{(2x+3)(x+3)}=0\\2x+6-2x^2-3x+2x+3=0\\-2x^2+x+9=0\\\Delta=73\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{73}\\x_1=\frac{1+\sqrt{73}}{4}\ \vee \ x_2=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\)
Obie liczby należą do dziedziny.
Odp: \(x=\frac{1+\sqrt{73}}{4}\ \vee \ x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\)
d)
\(\frac{x}{6-2x}=\frac{2}{x-3}\)
Zastrzeżenia:
\(6-2x\neq0\ \wedge \ x-3\neq0\\x\neq3\)
\(D_r=R \setminus \left\{3 \right\}\)
\(\frac{x}{6-2x}-\frac{2}{x-3}=0\\\frac{x}{6-2x}-\frac{2\cdot(-2)}{6-2x}=0\\\frac{x+4}{6-2x}=0\\x+4=0\\x=-4\in\ D_r\)
Odp: \(x=-4\)
2.
a)
\(\frac{3-4x}{x+2}>0\)
\(x+2\neq0\\x\neq-2\\D_r=R \setminus \left\{ -2\right\}\)
\(\frac{3-4x}{x+2}>0\ /\cdot(x+2)^2\\(3-4x)(x+2)>0\\-4x^2-5x+6>0\\\Delta=121\\\sqrt{\Delta}=11\\x_1=\frac{3}{4}\ \vee \ x_2=2\\x\in(\frac{3}{4};\ 2) \subset D_r\)
Odp:
\(x\in(\frac{3}{4};\ 2)\)
b)
\(\frac{1+5x}{2x-3}-3 \le 0\)
\(2x-3\neq0\\x\neq\frac{3}{2}\\D_r=R \setminus \left\{\frac{3}{2} \right\}\)
\(\frac{1+5x}{2x-3}-3 \le 0\ /\cdot(2x-3)^2\\(1+5x)(2x-3)-3(2x-3)^2 \le 0\\-2x^2+23x-30 \le 0\\\Delta=289\\\sqrt{\Delta}=17\\x_1=10\ \vee \ x_2=\frac{3}{2}\\x\in(-\ \infty;\ \frac{3}{2}>\ \cup \ <10;\ \infty)\)
\(\frac{3}{2} \notin D_r\)
Odp:
\(x\in(-\ \infty;\ \frac{3}{2})\ \cup \ <10;\ \infty)\)
a)
\(\frac{2x-1}{5x+4}=2\)
Zastrzeżenia:
\(5x+4\neq0\\x\neq-\frac{4}{5}\)
Dziedzina równania: \(D_r= R \setminus \left\{-\frac{4}{5} \right\}\)
\(2x-1=2(5x+4)\\2x-1=10x+8\\-8x=7\\x=-\frac{7}{8}\in\ D_r\)
Odp: \(x=-\frac{7}{8}\)
b)
\(\frac{3+2x}{x-5}=\frac{4x}{2x-1}\)
Dziedzina równania:
\(x-5\neq0\ \wedge \ 2x-1\neq0\\x\neq5\ \wedge \ x\neq\frac{1}{2}\)
\(D_r=R \setminus \left\{5;\ \frac{1}{2} \right\}\)
\((3+2x)(2x-1)=4x(x-5)\\6x-3+4x^2-2x=4x^2-20x\\24x=3\\x=\frac{1}{8} \in D_r\)
Odp: \(x=\frac{1}{8}\)
c)
\(\frac{2}{2x+3}-\frac{x-1}{x+3}=0\)
Zastrzeżenia:
\(2x+3\neq0\ \wedge \ x+3\neq0\\x\neq-\frac{3}{2}\ \wedge \ x\neq-3\\D_r=R \setminus \left\{-\frac{3}{2};\ -3 \right\}\)
\(\frac{2(x+3)-(x-1)(2x+3)}{(2x+3)(x+3)}=0\\2x+6-2x^2-3x+2x+3=0\\-2x^2+x+9=0\\\Delta=73\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{73}\\x_1=\frac{1+\sqrt{73}}{4}\ \vee \ x_2=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\)
Obie liczby należą do dziedziny.
Odp: \(x=\frac{1+\sqrt{73}}{4}\ \vee \ x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\)
d)
\(\frac{x}{6-2x}=\frac{2}{x-3}\)
Zastrzeżenia:
\(6-2x\neq0\ \wedge \ x-3\neq0\\x\neq3\)
\(D_r=R \setminus \left\{3 \right\}\)
\(\frac{x}{6-2x}-\frac{2}{x-3}=0\\\frac{x}{6-2x}-\frac{2\cdot(-2)}{6-2x}=0\\\frac{x+4}{6-2x}=0\\x+4=0\\x=-4\in\ D_r\)
Odp: \(x=-4\)
2.
a)
\(\frac{3-4x}{x+2}>0\)
\(x+2\neq0\\x\neq-2\\D_r=R \setminus \left\{ -2\right\}\)
\(\frac{3-4x}{x+2}>0\ /\cdot(x+2)^2\\(3-4x)(x+2)>0\\-4x^2-5x+6>0\\\Delta=121\\\sqrt{\Delta}=11\\x_1=\frac{3}{4}\ \vee \ x_2=2\\x\in(\frac{3}{4};\ 2) \subset D_r\)
Odp:
\(x\in(\frac{3}{4};\ 2)\)
b)
\(\frac{1+5x}{2x-3}-3 \le 0\)
\(2x-3\neq0\\x\neq\frac{3}{2}\\D_r=R \setminus \left\{\frac{3}{2} \right\}\)
\(\frac{1+5x}{2x-3}-3 \le 0\ /\cdot(2x-3)^2\\(1+5x)(2x-3)-3(2x-3)^2 \le 0\\-2x^2+23x-30 \le 0\\\Delta=289\\\sqrt{\Delta}=17\\x_1=10\ \vee \ x_2=\frac{3}{2}\\x\in(-\ \infty;\ \frac{3}{2}>\ \cup \ <10;\ \infty)\)
\(\frac{3}{2} \notin D_r\)
Odp:
\(x\in(-\ \infty;\ \frac{3}{2})\ \cup \ <10;\ \infty)\)