Dziedzia wyrażenia wymiernego

[czarna74]

ZAD.1
Określ dziedzinę wyrażenia, a następnie wykonaj działania i przedstaw wynik w postaci ilorazu wielomianów:
a) \(\frac{5x}{x^2+4}\) + \(\frac{4}{2x-3}\)

b) \(\frac{4-5x}{3x^2-2}\) - \(\frac{2x-7}{3x-2}\)

c) \(\frac{x^2}{x^2-x-6}\) * \(\frac{x^2-9}{x^2-3x}\)

d) \(\frac{x^2-25}{3x^2-2x}\) / \(\frac{x^2+10x+25}{2-3x}\)

ZAD.2
określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x)= \(\frac{-2x+2}{x+2}\) oraz współrzędne punktów, w których wykres tej funkcji przecina osie układu współrzędnych.

BARDZO PROSZĘ O POMOC

[irena]

1.
a)
\(\frac{5x}{x^2+1}+\frac{4}{2x-3}\)

\(x^2+4\neq0 \wedge 2x-3\neq0\\x\in\ R\ \wedge x\neq\frac{3}{2}\\D_w=R \setminus \left\{ \frac{3}{2}\right\}\)

\(\frac{5x(2x-3)+4(x^2+4)}{(x^2+4)(2x-3)}=\frac{14x^2-15x+16}{2x^3-3x^2+8x-12}\)

b)
\(\frac{4-5x}{3x^2-2}-\frac{2x-7}{3x-2}\)

\(3x^2-2\neq0\ \wedge \ 3x-2\neq0\\x\neq\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \wedge x\neq-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\ \wedge x\neq\frac{2}{3}\\x\neq\frac{\sqrt{6}}{3}\ \wedge \ x\neq-\frac{\sqrt{6}}{3}\ \wedge \ x\neq\frac{2}{3}\\D_w=R \setminus \left\{\frac{\sqrt{6}}{3};\ -\frac{\sqrt{6}}{3};\ \frac{2}{3} \right\}\)

\(\frac{(4-5x)(3x-2)-(2x-7)(3x^2-2)}{(3x^2-2)(3x-2)}=\frac{-6x^3+6x^2+26x-22}{9x^3-6x^2-6x+4}\)

[irena]

c)
\(\frac{x^2}{x^2-x-6}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-3x}\)

\(x^2-x-6\neq0\ \wedge \ x^2-3x\neq0 \Leftrightarrow (x+2)(x-3)\neq0 \ \wedge \ x(x-3)\neq0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x\neq-2\ \wedge \ x\neq3\ \wedge \ x\neq0\ \wedge \ x\neq3\\D_w=R \setminus \left\{-2;\ 0;\ 3 \right\}\)

\(\frac{x^2}{(x+2)(x-3)}\cdot\frac{(x+3)(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x(x+3)}{(x+2)(x-3)}=\frac{x^2+3x}{x^2-x-6}\)

[irena]

d)
\(\frac{x^2-25}{3x^2-2x}:\frac{x^2+10x+25}{2-3x}\)

\(3x^2-2x\neq0\ \wedge \ 2-3x\neq0\ \wedge x^2+10x+25\neq0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x(3x-2)\neq0\ \wedge \ x\neq\frac{2}{3}\ \wedge \ (x+5)^2\neq0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x\neq0\ \wedge \ x\neq\frac{2}{3}\ \wedge \ x\neq-5\\D_w=R \setminus \left\{-5;\ 0;\ \frac{2}{3}\right\}\)

\(\frac{(x+5)(x-5)}{x(3x-2)}:\frac{(x+5)^2}{2-3x}=\frac{(x+5)(x-5)}{x(3x-2)}\cdot\frac{2-3x}{(x+5)^2}=\frac{(x-5)\cdot(-1)}{x(x+5)}=\frac{-x+5}{x^2+5x}\)

[irena]

2.
\(f(x)=\frac{-2x+2}{x+2}\)

\(x+2\neq0\\x\neq-2\)

Dziedzina:
\(D_f=R \setminus \left\{-2 \right\}\)

Zbiór wartości:

\(f(x)=\frac{-2x-46}{x+2}=\frac{6}{x+2}-2\)

Asymptoty to proste x=-2 i y=-2.

\(Z_f=R \setminus \left\{-2 \right\}\)

Punkty przecięcia z osiami:

* z osią OY:
\(f(0)=\frac{-2\cdot0+2}{0+2}=1\) (0; 1)

*z osią OX:
\(f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{-2x+2}{x+2}=0 \Leftrightarrow -2x+2=0 \Leftrightarrow x=1\) (1; 0)

Punkty przecięcia z osiami to punkty (0; 1) i (1; 0).