W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm wpisujemy prostokąt tak, że dwa boki prostokąta zawierają się w przyprostokątnych trójkąta. Wyznacz długości boków tego z prostokątów, który ma największe pole.
Proszę o wskazówki.
Prostokąt wpisany w trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
\(P=xy\)
\(x\in(0;6)\)
\(y\in(0;4)\)
Z podobieństwa trójkątów ABC i DBE
\(\frac{b}{a} = \frac{y}{a-x}\)
\(\frac{4}{6} = \frac{y}{6-x}\)
\(y= \frac{4(6-x)}{6}\)
\(y=- \frac{2}{3}x +4\)
Musisz znajeźć \(x\), dla którego funkcja osiąga maksimum
\(P(x)=x \cdot (- \frac{2}{3}x +4)\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
-
marcin77
- Stały bywalec
- Posty: 387
- Rejestracja: 12 gru 2009, 14:45
- Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 36 razy
Prostokąt wpisany w trójkąt będzie mieć boki o proporcji 2 do 3, podobnie jak proporcja przyprostokątnych w trójkącie. Krótszy bok będzie leżał na przyprostokątnej o długości 4cm. Długości boków prostokąta wpisanego oznaczymy jako 2x i 3x.
\(P_d_t=P_p+P_1_t+P_2_t
\frac{4*6}{2}=2x*3x+ \frac{3x(4-2x)}{2}+ \frac{2x(6-3x)}{2}
12=6x^2+6x(2-x)
2=x^2+2x-x^2
x=1\)
Długość boków prostokąta to 2 i 3 cm
\(P_d_t=P_p+P_1_t+P_2_t
\frac{4*6}{2}=2x*3x+ \frac{3x(4-2x)}{2}+ \frac{2x(6-3x)}{2}
12=6x^2+6x(2-x)
2=x^2+2x-x^2
x=1\)
Długość boków prostokąta to 2 i 3 cm