Równanie z+|z|=2+4i

[supergolonka]

Wyznacz liczby zespolone \(z\) spełniające równanie \(z+|z|=2+4i\).

[supergolonka]

Podstawiamy \(z=a+bi\), gdzie \(a,b\in\rr\). \[a+bi+\sqrt{a^2+b^2}=2+4i\\
(a+\sqrt{a^2+b^2})+bi=2+4i.\] Części rzeczywiste i urojone po obu stronach muszą być równe, więc \(b=4\) oraz \[a+\sqrt{a^2+16}=2\\
\sqrt{a^2+16}=2-a\quad/()^2\\
a^2+16=4-4a+a^2\\
4a=-12\quad\So\quad a=-3.\] Zatem \(z=-3+4i\).

Odpowiedź: \(z=-3+4i\)

[supergolonka]

Wyznacz liczby zespolone \(z\) spełniające równanie \(z+|z|=9-3i\).

[supergolonka]

Podstawiamy \(z=a+bi\), gdzie \(a,b\in\rr\). \[a+bi+\sqrt{a^2+b^2}=9-3i\\
(a+\sqrt{a^2+b^2})+bi=9-3i.\] Części rzeczywiste i urojone po obu stronach muszą być równe, więc \(b=-3\) oraz \[a+\sqrt{a^2+9}=9\\
\sqrt{a^2+9}=9-a\quad/()^2\\
a^2+9=81-18a+a^2\\
18a=72\quad\So\quad a=4.\] Zatem \(z=4-3i\).

Odpowiedź: \(z=4-3i\)