Strona 1 z 1
Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej
: 14 gru 2013, 20:00
autor: supergolonka
Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 9.
Rozwiązanie
: 14 gru 2013, 20:04
autor: supergolonka
Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez
\(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość
\(\frac{9}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem
\[f(x)=2x+\frac{18}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\]
Liczymy pochodną
\[f'(x)=2-\frac{18}{x^2}=\frac{2x^2-18}{x^2}=\frac{2(x-3)(x+3)}{x^2}.\]
Widać teraz, że funkcja
\(f\) maleje w przedziale
\((0,3\rangle\) i rośnie w przedziale
\(\langle 3,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla
\(x=3\) i wartość ta jest równa
\[f(3)=6+6=12.\]
Odpowiedź: 12
Klon 1
: 14 gru 2013, 20:06
autor: supergolonka
Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 4.
Rozwiązanie - klon 1
: 14 gru 2013, 20:08
autor: supergolonka
Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez
\(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość
\(\frac{4}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem
\[f(x)=2x+\frac{8}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\]
Liczymy pochodną
\[f'(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.\]
Widać teraz, że funkcja
\(f\) maleje w przedziale
\((0,2\rangle\) i rośnie w przedziale
\(\langle 2,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla
\(x=2\) i wartość ta jest równa
\[f(2)=4+4=8.\]
Odpowiedź: 8