Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1868
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Najmniejszy obwód prostokąta - ekstremum funkcji wymiernej
Wyznacz najmniejszą możliwą wartość obwodu prostokąta o polu 9.
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1868
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{9}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem
\[f(x)=2x+\frac{18}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\]
Liczymy pochodną
\[f'(x)=2-\frac{18}{x^2}=\frac{2x^2-18}{x^2}=\frac{2(x-3)(x+3)}{x^2}.\]
Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,3\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 3,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=3\) i wartość ta jest równa
\[f(3)=6+6=12.\]
Odpowiedź: 12
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1868
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
- supergolonka
- Moderator
- Posty: 1868
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Rozwiązanie - klon 1
Jeżeli oznaczmy długość jednego z boków prostokąta przez \(x\), to drugi bok (z podanego pola) ma długość \(\frac{4}{x}\). Obwód prostokąta wyraża się więc wzorem
\[f(x)=2x+\frac{8}{x},\quad \text{gdzie }x>0.\]
Liczymy pochodną
\[f'(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.\]
Widać teraz, że funkcja \(f\) maleje w przedziale \((0,2\rangle\) i rośnie w przedziale \(\langle 2,+\infty)\). Zatem najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=2\) i wartość ta jest równa
\[f(2)=4+4=8.\]
Odpowiedź: 8