Strona 1 z 1
Ekstrema wielomianu: 3x^4-4x^3-6x^2+12x-7
: 14 gru 2013, 19:42
autor: supergolonka
Wyznacz ekstrema funkcji \(f(x)=3x^4-4x^3-6x^2+12x-7\).
Rozwiązanie
: 14 gru 2013, 19:47
autor: supergolonka
Obliczamy pochodną funkcji
\(f\).
\[f'(x)=12x^3-12x^2-12x+12=12(x^3-x^2-x+1)=12(x^2(x-1)-(x-1))=\\
=12(x^2-1)(x-1)=12(x+1)(x-1)^2.\]
W punkcie
\(x=-1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie
\(x=1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto
\[f(-1)=3+4-6-12-7=-18.\]
Odpowiedź: Minimum lokalne: \(f(-1)=-18\).
Klon 1
: 14 gru 2013, 19:48
autor: supergolonka
Wyznacz ekstrema funkcji \(f(x)=3x^4+4x^3-6x^2-12x+5\).
Rozwiązanie - klon 1
: 14 gru 2013, 19:58
autor: supergolonka
Obliczamy pochodną funkcji
\(f\).
\[f'(x)=12x^3+12x^2-12x-12=12(x^3+x^2-x-1)=12(x^2(x+1)-(x+1))=\\
=12(x^2-1)(x+1)=12(x-1)(x+1)^2.\]
W punkcie
\(x=1\) pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest minimum lokalne w tym punkcie. W punkcie
\(x=-1\) pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma w tym punkcie ekstremum. Mamy ponadto
\[f(1)=3+4-6-12+5=-6.\]
Odpowiedź: Minimum lokalne: \(f(1)=-6\).