forum.zadania.info

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=2x^3+3x^2-72x+13\).

Liczymy pochodną. \[f'(x)=6x^2+6x-72=6(x^2+x-12)\\
\Delta=1+48=49\\
x=\frac{-1-7}{2}=-4\quad\vee\quad x=\frac{-1+7}{2}=3\\
f'(x)=6(x+4)(x-3).\] Zatem funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w przedziałach \((-\infty,-4\rangle\) i \(\langle 3,+\infty)\) (bo pochodna w tych przedziałach jest nieujemna), oraz jest malejąca w przedziale \(\langle-4,3\rangle\) (pochodna w tym przedziale jest niedodatnia).

Odpowiedź: Rosnąca w \((-\infty,-4\rangle\) i \(\langle 3,+\infty)\), malejąca w \(\langle-4,3\rangle\).

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3+3x^2-24x+17\).

Liczymy pochodną. \[f'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)\\
\Delta=4+32=36\\
x=\frac{-2-6}{2}=-4\quad\vee\quad x=\frac{-2+6}{2}=2\\
f'(x)=3(x+4)(x-2).\] Zatem funkcja \(f(x)\) jest rosnąca w przedziałach \((-\infty,-4\rangle\) i \(\langle 2,+\infty)\) (bo pochodna w tych przedziałach jest nieujemna), oraz jest malejąca w przedziale \(\langle-4,2\rangle\) (pochodna w tym przedziale jest niedodatnia).

Odpowiedź: Rosnąca w \((-\infty,-4\rangle\) i \(\langle 2,+\infty)\), malejąca w \(\langle-4,2\rangle\).