forum.zadania.info

Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek równa się polu podstawy stożka. Znajdź cosinus kąta rozwarcia stożka.

\(cos\alpha= \frac{7}{25}\) ?

tak, tylko jak to obliczyć?;d

Z warunków zadania
\(4\pi R^2=\pi r^2)\)
\(r=2R\)

Z podobieństwa trójkątów DBC i EFC
\(\frac{l}{r}= \frac{h-R}{R}\)
\(\frac{l}{2R}= \frac{h-R}{R}\)
\(h-R= \frac{Rl}{2R}\)
\(h= \frac{l}{2}+R\)
\(h= \frac{l+2R}{2}\)

Z twierdzenia Pitagorasa
\(l^2=h^2+r^2\)
\(l^2=(\frac{l+2R}{2})^2+(2R)^2\)
\(l= \frac{10}{3}R\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC
\((2r)^2=l^2+l^2-2l \cdot l \cdot cos\alpha\)
\(4r^2=2l^2-2l^2 \cdot cos\alpha\)
\(cos\alpha= \frac{l^2-2r^2}{l^2}\)
\(cos\alpha= \frac{(\frac{10}{3}R)^2-2 \cdot (2R)^2}{(\frac{10}{3}R)^2}\)
\(cos\alpha= \frac{7}{25}\)