promień okregu...

[kiszkajoy]

Trapez rownóramienny o przekątnej długości 13 cm i obwodzie 48 cm jest opisany na okręgu. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez i długość promienia okręgu opisanego na tym trapizie.

[anka]

Obliczam \(c\)
Czworokąt można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości boków przeciwległych w tym czworokącie są równe.

\(a+b=2c\)
\(a+b+2c=48\)
\(2c+2c=48\)
\(4c=8\)
\(c=12\)

Obliczam \(h\)
\(|AE|= \frac{a-b}{2}\)
\(|EB|=|AB|-|AE|=a- \frac{a-b}{2}= \frac{a+b}{2}\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EBD
\(h^2+(\frac{a+b}{2} )^2=d^2\)
\(h^2+(\frac{2c}{2} )^2=d^2\)
\(h^2+c^2=d^2\)
\(h^2+12^2=13^2\)
\(h^2=169-144\)
\(h^2=25\)
\(h=5\)

Obliczam \(r\)
\(h=2r\)
\(2r=5\)
\(r=2,5\)

Obliczam \(R\)
Okrąg opisany na trapezie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie ABD
Z twierdzenia sinusów
\(\frac{d}{sin\alpha}=2R\)

\(\frac{d}{ \frac{h}{c} }=2R\)

\(\frac{d}{ \frac{h}{c} }=2R\)

\(\frac{13}{ \frac{5}{12} }=2R\)

\(2R=31,2\)
\(R=15,6\)