forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie rozwiązania (całkowite) równania 9x + 12y = 60.

Podzielmy najpierw przez 3 i mamy:
\(3x+4y=20\\
y=\frac{20- 4y}{3}\)
Teraz żeby \(y\) było całkowite to licznik ułamka ma być podzielmy przez 3. Myślimy dalej [wskazówka - wyłącz całości z ułamka].

60 : 3 = 20 a nie 15 ...
myślimy dalej

To się nazywa rozwiązywanie zadań, gdy jestem głodny
Co wymyśliłeś/aś?

9x+12y=60

nwd (9,12) = 3

60:3=20 to znaczy ze rownanie ma rozwiazania

60 = 12 * 5 = 12 * 5 + 9 * 0 (x=0 y=5)

60 = 12 * 4 + 12 brak rozwiązań ( nie mogę rozpisać 12 jako mnożenia 9 x liczba całkowita )

60 = 12 * 3 + 24 j.w

60 = 12 * 2 + 36 = 12 * 2 + 9 * 4 (x=4 y=2)

60 = 12 * 1 + 48 nie mogę rozpisać 48 jako mnożenia 9 x l. całkowita

odp : (x=4 y=2) , (x=0 y=5)

sory 0 jest calkowite xd [edited]

przeciez rownanie Diofantyczne bedzie mialo nieskonczenie wiele rozwiazan calkowitych.
Te rownania rozwiazuje sie przy pomocy algorytmu Euklidesa. Najpierw rozwiazanie partykularne a pozniej ogolne

to jaka para rozwiazan calkowitych tu np jeszcze pasuje?

kazda taka para

\(\begin{cases}x=-20+4k\\y=20-3k\end{cases},\;\;\;k\in\zz\)

moglbys rozpisac jak do tego dojsc?

\[9x+12y=60//:(3)\] \[3x+4y=20\] to rownanie Diofantyczne ma rozwiazanie bo \(d:=(3,4)=1|20\)

Zajmijmy sie na razie rownaniem pomocniczym (przy pomocy ktorego szybko znajdziemy rozwiazanie partykularne):
\[3x+4y=1\]

rowanie to ma rozwiazanie bo\[(3,4)=1|1\]
z algorytmu Euklidesa
\[1=4-3=(-1)3+1(4)\] i mamy rozwiazanie partykularne dla rownania pomocniczego
\[x_{0}=-1 \wedge y_{0}=1\] zatem rozwiazaniem partykularnym dla \(3x+4y=20\;\;\)bedzie
\[ x_{0}=-20 \wedge y_{0}=20\] a rozwiazanie ogolne ma postac

\(\begin{cases}x=x_{0}+\frac{b}{d}k\\y=y_{0}-\frac{a}{d}k\end{cases}\;\;,k\in\zz \Rightarrow \begin{cases}x=-20+\frac{4}{1}k=-20+4k\\y=20-\frac{3}{1}k=20-3k\end{cases}\;\;,k\in\zz\)