1. Każdej liczbie naturalnej dodatniej parzystej n, gdy n \(\le\) 10, przyporządkowano liczbę, która jest równa jej połowie pomniejszonej o 3. Napisz wzór tej funkcji, jej dziedzinę i zbiór wartości.
2. Prosta o równaniu y=x+3 i okrąg o równaniu \(x^{2}\) + \((y-3)^{2}\)=18 przecinają się w punktach A i B. Oblicz długość cięciwy AB.
3. W prostopadłościanie przekątna ściany bocznej o długości 8cm tworzy z krawędzią podstawy kąt \(45^{o}\), a przekątna p prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(30^{o}\). Oblicz długość przekątnej p prostopadłościanu.
4. Rozwiąż równanie (2x+1)+(2x+4)+(2x+7)+...+(2x+28)=155, wiedząc że składniki sumy po lewej stronie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
5. Spośród punktów o współrzędnych (x,y), gdzie x należy do zbioru {1,2,3} i y do {2,4}, losowo wybrano dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, że wybrane dwa punkty leżą na prostej o równaniu y=2x.
5 różnych zadań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(f(n)=\frac{1}{2}n-3\\D_f= \left\{2,4,6,8,10 \right\}\\Z_f= \left\{-2,-1,0,1,2 \right\}\)
2.
Żeby znależć punkty wspólne (A i B), rozwiążemy układ równań:
\(\begin{cases}y=x+3\\x^2+(y-3)^2=18 \end{cases} \\ \begin{cases}y=x+3\\x^2+(x-3+3)^2=18 \end{cases} \\x^2+x^2=18\\x^2=9\\x_1=3\ \vee \ x_2=-3\\y_1=6\ \vee \ y_2=0\)
A(3,6), B(-3,0)
Długość odcinka AB:
\(|AB|=\sqrt{(-3-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)
\(f(n)=\frac{1}{2}n-3\\D_f= \left\{2,4,6,8,10 \right\}\\Z_f= \left\{-2,-1,0,1,2 \right\}\)
2.
Żeby znależć punkty wspólne (A i B), rozwiążemy układ równań:
\(\begin{cases}y=x+3\\x^2+(y-3)^2=18 \end{cases} \\ \begin{cases}y=x+3\\x^2+(x-3+3)^2=18 \end{cases} \\x^2+x^2=18\\x^2=9\\x_1=3\ \vee \ x_2=-3\\y_1=6\ \vee \ y_2=0\)
A(3,6), B(-3,0)
Długość odcinka AB:
\(|AB|=\sqrt{(-3-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)
3.
a,b- krawędzie podstawy, c - krawędź boczna prostopadłościanu
Na ścianie bocznej:
\(\frac{a}{8}=cos45^o\\a=8\cdot\ cos45^o\\a=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\a=4\sqrt{2}cm\)
\(\frac{c}{8}=sin45^o\\c=4\sqrt{2}\)
Przekątna podstawy prostopadłościanu i jego krawędź boczna są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(30^o\), w którym p jest przeciwprostokątną (kąt między przekątną prostopadłościanu a jego podstawą to kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu a przekątną jego podstawy)
\(\frac{c}{p}=sin30^o\\\frac{4\sqrt{2}}{p}=\frac{1}{2}\\p=8\sqrt{2}cm\)
a,b- krawędzie podstawy, c - krawędź boczna prostopadłościanu
Na ścianie bocznej:
\(\frac{a}{8}=cos45^o\\a=8\cdot\ cos45^o\\a=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\a=4\sqrt{2}cm\)
\(\frac{c}{8}=sin45^o\\c=4\sqrt{2}\)
Przekątna podstawy prostopadłościanu i jego krawędź boczna są przyprostokątnymi w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(30^o\), w którym p jest przeciwprostokątną (kąt między przekątną prostopadłościanu a jego podstawą to kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu a przekątną jego podstawy)
\(\frac{c}{p}=sin30^o\\\frac{4\sqrt{2}}{p}=\frac{1}{2}\\p=8\sqrt{2}cm\)
5.
Wszystkich takich punktów jest 6. Spośród nich punkty leżące na danej prostej y=2x, to punkty (1,2) lub (2,4).
Wszystkich zdarzeń (możliwości wyboru 2 punktów spośród sześciu) jest \(6\cdot5=30\).
Możliwości wyboru tych dwóch punktów jest \(2\cdot1=2\)
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe
\(\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)
Wszystkich takich punktów jest 6. Spośród nich punkty leżące na danej prostej y=2x, to punkty (1,2) lub (2,4).
Wszystkich zdarzeń (możliwości wyboru 2 punktów spośród sześciu) jest \(6\cdot5=30\).
Możliwości wyboru tych dwóch punktów jest \(2\cdot1=2\)
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe
\(\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)