Znaleźć taką liczbę całkowitą \(a\), że:
\(a=4(mod9) \ , \ a=5(mod35) \ , \ a=4(mod71)\)
Jak mam dwa równania to wiem jak je rozwiązać a tu nie jestem pewna.
Układ równań modularnych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
Re: Układ równań modularnych
takie uklady (standardowo) rozwiazuje sie przy pomocy Chińskiego twierdzenia o resztach, ale tutaj beda wychodzic dosc duze liczby, wiec moze jest szybsza metoda
\[M=9\cdot35\cdot71=22365\] \[\begin{cases}M_{1}=\frac{M}{m_{1}}=\frac{22365}{9}=2485\\
M_{2}=\frac{M}{m_{2}}=\frac{22365}{35}=639\\
M_{3}=\frac{M}{m_{3}}=\frac{22365}{71}=315\end{cases}\] i szukamy elementow odwrotnych
\[M_{i}a_{i}\equiv 1\; mod\; m_{i}\;\;i=1,2,3\] \[\begin{cases}2485a_{1}\equiv 1\; mod\;9\\639a_{2}\equiv 1\; mod\;35\\315a_{3}\equiv 1\; mod\;71\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a_{1}\equiv 1\; mod\;9\\a_{2}\equiv 4\; mod\;35\\a_{3}\equiv 55\; mod\;71\end{cases}\] i mamy
\[a=b_{1}M_{1}a_{1}+b_{2}M_{2}a_{2}+b_{3}M_{3}a_{3}\] gdzie \[b_{1}=4,b_{2}=5,b_{3}=4\] \[a=4\cdot 2485\cdot 1+5\cdot 639\cdot 4+4\cdot 135\cdot 55\equiv 2560\; mod \;22365\]
\[M=9\cdot35\cdot71=22365\] \[\begin{cases}M_{1}=\frac{M}{m_{1}}=\frac{22365}{9}=2485\\
M_{2}=\frac{M}{m_{2}}=\frac{22365}{35}=639\\
M_{3}=\frac{M}{m_{3}}=\frac{22365}{71}=315\end{cases}\] i szukamy elementow odwrotnych
\[M_{i}a_{i}\equiv 1\; mod\; m_{i}\;\;i=1,2,3\] \[\begin{cases}2485a_{1}\equiv 1\; mod\;9\\639a_{2}\equiv 1\; mod\;35\\315a_{3}\equiv 1\; mod\;71\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a_{1}\equiv 1\; mod\;9\\a_{2}\equiv 4\; mod\;35\\a_{3}\equiv 55\; mod\;71\end{cases}\] i mamy
\[a=b_{1}M_{1}a_{1}+b_{2}M_{2}a_{2}+b_{3}M_{3}a_{3}\] gdzie \[b_{1}=4,b_{2}=5,b_{3}=4\] \[a=4\cdot 2485\cdot 1+5\cdot 639\cdot 4+4\cdot 135\cdot 55\equiv 2560\; mod \;22365\]
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)