Rozkład wielomianu na czynniki

[gonzalo2096]

Rozłóż na czynniki wielomiany
a) \(x^3(x^2 - 7)^2 - 36x\)
b) \(x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30\)

Odpowiedzi
a) \(x(x - 1)(x + 1)(x-2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\)
b)\((x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 5)\)

Proszę o rozwiązanie inną metodą niż z twierdzenia Bezouta.

[kacper218]

Pierwsze:
\(x^3(x^2-7)^2-36x=0\\
x(x^2(x^2-7)^2-36)=0\\
x([x^3-7x]^2-36)=0\\
x(x^3-7x-6)(x^3-7x+6)=0\\
x(x^3-6x-x-6)(x^3-6x-x+6)=0\\\)
Dalej samemu

[gonzalo2096]

A drugie pomożesz?

[kacper218]

Przykład drugi nie jest taki oczywisty
Tutaj kombinowanie bez tw Bezou może być długie zaraz napisze

[kacper218]

\(x^4+3x^3-15x^2-19x+30\\
x^4+3x^3-15x^2-15x-4x+15+15=0\\
x^4-x^3+4x^3 -15x^2-15x-4x+15+15=0\\
x^3(x-1)+4x (x-1)- 15(x^2-1)- 15(x-1)=0\\\)
Dalsze kombinowanie dla ciebie

[gonzalo2096]

Dzięki za pomoc

[gonzalo2096]

Mam tu jeszcze dwa przykłady tego samego zadania
a) \((x^2 - 2)^4 - 4x^4\)
b) \((x^2 + 9)^4 - 16x^4\)

[matirafal]

(x^2−2)^4−4x^4

\(((x^2-2)^2-2x^2)((x^2-2)^2+2x^2)\)
\(((x^2-2)- \sqrt{2}x)((x^2-2)+ \sqrt{2}x)((x^2-2)^2+2x^2)\)
\(((x- \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{10} }{2} )(x+ \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{10} }{2} ))((x+ \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{10} }{2} )(x- \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{10} }{2} ))((x^2-2)^2+2x^2)\)

[gonzalo2096]

A to drugie dasz radę bo nie wiem jak zrobić?

[Galen]

\((x^2+9)^4-16x^4=[(x^2+9)^2-(2x)^2]\cdot [(x^2+9)^2+(2x)^2]=(x^2+9-2x)(4x+9+2x)(x^4+18x^2+81+4x^2)=\\

=(x^2-2x+9)(x^2+2x+9)(x^4+20x^2+81)\)
W pierwszym i drugim nawiasie delta jest ujemna.
W trzecim nawiasie oznacz \(x^2=t\) i policz deltę dla \(t^2-20t+81\)
\(\Delta_t=400-324=76=4\cdot 19\\
t_1=\frac{-20-2 \sqrt{19} }{2}=-10- \sqrt{19}\\t_2=-10+ \sqrt{19}\\
t^2-20t+81=(t +10+ \sqrt{19})(t+10- \sqrt{19})=(x^2 +10+ \sqrt{19})(x^2+10- \sqrt{19} )\)
Ostatecznie rozkład kończy się czynnikami stopnia drugiego.
\(W(x)=(x^2-2x+9)(x^2+2x+9)(x^2+10+ \sqrt{19} )(x^2+10- \sqrt{19})\)

[kacper218]

Ważna rzecz. Nie dopisuj zadań. Utwórz nowy temat

[gonzalo2096]

Ok już będę wiedział dzięki.