wektory i kwadrat

[luki9931]

1.Dany jest kwadrat ABCD. Punkty E i F są środkami boków BC i CD. Wiedząc, że \(\vec{AE} * \vec{AF}= 4\) oblicz pole kwadratu.

[anka]

Masz może odpowiedź do tego zadania?

[luki9931]

tak pole wynosi 4

[anka]

\(|\vec{AE} |=|\vec{AF} |\)

Obliczam \(|\vec{AE} |\)

\(|\vec{AE} |=|\vec{AF} |= \sqrt{a^2+( \frac{1}{2}a )^2}\)

\(|\vec{AE} |=|\vec{AF} |= \frac{a \sqrt{5} }{2}\)

Obliczam \(cos\alpha\)
\(cos\alpha= \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AF}}{|\vec{AE} | \cdot |\vec{AF} |}\)

\(cos\alpha= \frac{4}{\frac{a \sqrt{5} }{2} \cdot \frac{a \sqrt{5} }{2}}\)

\(cos\alpha= \frac{16}{5a^2}\)

Obliczam \(|EF|\)

\(|EF|= \sqrt{( \frac{1}{2}a )^2+( \frac{1}{2}a )^2}\)

\(|EF|= \frac{a \sqrt{2} }{2}\)

Obliczam pole kwadratu (\(a^2\))

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta AEF
\(|EF|^2=|AE|^2|+|AF|^2-2 \cdot |AE| \cdot |AF| \cdot cos\alpha\)

\((\frac{a \sqrt{2} }{2})^2=( \frac{a \sqrt{5} }{2})^2+( \frac{a \sqrt{5} }{2})^2-2 \cdot \frac{a \sqrt{5} }{2} \cdot \frac{a \sqrt{5} }{2} \cdot \frac{16}{5a^2}\)

\(\frac{a^2}{2} = \frac{5a^2}{2}-8\)

\(a^2=4\)

[luki9931]

Dzięki za rozwiązanie