forum.zadania.info

Błagam o pomoc w tym zadanku:

Wysokość ściany bocznej trójkątnego ostrosłupa prawidłowego ma długość h, a wysokość ostrosłupa jest równa H. Oblicz objętość ostrosłupa. Z góry dzięki za pomoc

Wysokość ostrosłupa i wysokość jednej ze ścian bocznych wyznaczają trójkąt prostokątny, w którym h jest przeciwprostokątna to h, jedna z przyprostokątnych to H, a druga przyprostokątna to r- promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, który jest podstawą ostrosłupa.

\(r^2=h^2-H^2\\r=\sqrt{h^2-H^2}\)

k- wysokość podstawy, k=3r
\(k=3\sqrt{h^2-H^2}\)

a- krawędź podstawy
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=k\\a=\frac{2k}{\sqrt{3}}\)

Pole podstawy
\(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P=\frac{\frac{4k^2\sqrt{3}}{3}}{4}=\frac{k^2\sqrt{3}}{3}\\P=3(h^2-H^2)\sqrt{3}\)

Objętość

\(V=\frac{1}{3}P\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot3(h^2-H^2)\sqrt{3}\cdot\ H\\V=H(h^2-H^2)\sqrt{3}\)