Brzeg, domknięcie i wnętrze-topologia

[agusiaczarna22]

Pomożecie??Mam za zadanie :
Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X.
Czy \(\partial A = \partial \left( X \setminus A\right) ?\)
Czy \(int\left( \partial A\right) \neq \emptyset ?\)
Czy \(\partial \left( intA\right) = \partial A ?\)
Czy \(\partial\left(\overline{A}\right) = \partial A ?\)
Odpowiedzi uzasadnij.

[rayman]

1) \(\partial A=\partial A^{c}\)

''mechaniczny'' dowod

\(( \Rightarrow )\)
Niech \(x\in \partial A\) niech \(\mathcal{N}(x,\varepsilon)\)bedzie otoczeniem \(x \Rightarrow \mathcal{N}(x,\varepsilon)\) zawiera punkty zarowno z \(A\) jak i z \(A^{c} \Rightarrow \mathcal{N}(x,\varepsilon)\) zawiera punkty z \((A^{c})^{c}=A\) i z\(A^{c} \Rightarrow x\in \partial A^{c}\)

\((\Leftarrow)\)

niech \(x\in\partial A^{c}\) niech \(\mathcal{N}(x,\varepsilon)\) bedzie otoczeniem \(x \Rightarrow \mathcal{N}(x,\varepsilon)\) zawiera punkty z \(A^{c}\)oraz z\((A^{c})^{c}\). Zatem kazde otoczenie \(x\) zawiera znow punkty z \(A\) i z \(A^{c} \Rightarrow x\in\partial A\)

[octahedron]

Albo z definicji brzegu:
\(\partial A=\overline{A}\cap\overline{(X\setminus A)}=\overline{X\setminus(X\setminus A)}\cap\overline{(X\setminus A)}=\partial(X\setminus A)\)

[octahedron]

2) Brzeg może mieć niepuste wnętrze, np. \(\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}\), więc \(int(\partial\mathbb{Q})=\mathbb{R}\)
3) Możemy mieć \(int\,A=\emptyset\), wtedy \(\partial(int A)=\emptyset\), ale niekoniecznie \(\partial A=\emptyset\)
4) Mamy \(\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}\), ale \(\partial(\overline{\mathbb{Q}})=\partial\mathbb{R}=\emptyset\)