Pilne! Równia pochyła.

[roksgas452]

Jaką prędkość początkową trzeba nadać ciału, aby wsunęło się ono na szczyt równi pochyłej o długości L = 1 m i kącie nachylenia \alpha = 30°, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f = 0,2?

[roksgas452]

Obliczyć okres drgań punktu materialnego wykonującego drgania o amplitudzie A = 0.1 m, jeżeli dla fazy drgań \alpha=60°, jego prędkość wynosi 0.157 m/s.

[patryk00714]

\(T+F=ma\)

\(fmgcos\alpha+mgsin\alpha=ma\)

\(a=g(fcos\alpha+sin\alpha)\)

\(L=v_0 \cdot t -\frac{1}{2}at^2\), ale jednocześnie \(t=\frac{v_0}{a}\)

zatem \(L=\frac{v_0^2}{a}-\frac{1}{2}a \cdot \frac{v_0^2}{a^2}=\frac{1}{2} \frac{v_0^2}{a}\)

\(v_0^2=2La=2Lg(fcos\alpha+sin\alpha)\)

\(v_0=\sqrt{2Lg(fcos\alpha+sin\alpha)}=\sqrt{20(\frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})}=\sqrt{\sqrt{3}+10}\)

[patryk00714]

lub jednocześnie z zasady zachowania energii:

1) \(E_{k_0}=E_p+T\)

\(\frac{mv_0^2}{2}=mgH+fmgcos\alpha\)

\(H=Lsin\alpha\)

\(\frac{v_0^2}{2}=gLsin\alpha+fgcos\alpha\)

\(v_0^2=2(gLsin\alpha+fgcos\alpha)\)

\(v_0=\sqrt{2(10 \cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{5} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}=\sqrt{10+\sqrt{3}} [\frac{m}{s}]\)

[patryk00714]

2) \(x=Asin{\omega t}\)

\(v=\frac{dx}{dt}=A \omega cos(\omega t)\)

\(cos(\omega t)=\frac{v}{A \omega}\)

\(\alpha=\omega t\)

\(cos\alpha=\frac{v}{A \omega}\)

\(\omega=\frac{v}{Acos\alpha}\)

\(\frac{2\pi}{T}=\frac{v}{Acos\alpha}\)

\(T=\frac{2\pi \cdot Acos\alpha}{v}\)


zatem \(T=\frac{ 6,28 \cdot 0,1 \cdot 0,87}{0,157} \approx 3,5 [\frac{1}{s}]\)