zbiór A\B

[kaziolo]

Wyznacz zbiór \(A \setminus B\), gdzie \(A\) jest dziedziną funkcji
\(f(x)= \sqrt{ \frac{x^2-2x+5}{2-x} }+log|x+1|\)
zaś
\(B= \left\{x \in R:2log|2^x-2| \le log(2^x+10)+log2 \right\}\)

[eresh]

1.
\(\frac{x^2-2x+5}{2-x}\geq 0\\
(x^2-2x+5)(2-x)\geq 0\\
2-x\geq 0\\
-x\geq -2\\
x\leq 2\)

2.
\(2-x\neq 0\\
x\neq 2\)

3.
\(|x+1|>0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)


\(A=(-\infty, -1)\cup (-1,2)\)

[eresh]

\(2\log|2^x-2| \le \log(2^x+10)+\log 2\)

\(|2^x-2|>0\;\; \wedge \;\;2^x+10>0\\
2^x\neq 2\\
x\neq 1\\
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

\(\log(2^x-2)^2\leq \log(2(2^x+10))\\
2^{2x}-4\cdot 2^x+4\leq 2\cdot 2^x+20\\
2^{2x}-6\cdot 2^x-16\leq 0\\
2^x=t\\
t^2-6t-16\leq 0\\
t_1=8\\
t_2=-2\\
t\in [-2,8]\\
2^x\geq -2\;\; \wedge \;\;2^x\leq 8\\
x\leq 3\)

biorąc pod uwagę dziedzinę:
\(B=(-\infty, 1)\cup (1,3]\)

[eresh]

\(A\setminus B=[2,3]\)