największa możliwa objętość

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Prostopadłościan ma 8 krawędzie długości x i cztery krawędzie długości 2x. Oblicz najwiekszą możliwą objętość takiego prostopadłościanu, jeśli jest on zawarty w półkuli o promieniu 15 cm?

dziękuję

[irena]

Przyjmijmy, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy x i wysokości 2x.
Największą objętość będzie miał według mnie wtedy, gdy jedna z jego ścian bocznych zawarta będzie w kole wielkim półkuli. Wtedy przeciwległa ściana boczna będzie wpisana w koło oddalone od środka kuli o x. Średnica tego koła jest równa przekątnej tej ściany bocznej.

Obliczam średnicę tego koła z twierdzenia Pitagorasa:
\(x^2+(2x)^2=d^2\\d^2=5x^2\\d=x\sqrt{5}\)
Na przekroju półkuli płaszczyzną zawierającą środki obu kół i przekątną ściany bocznej średnica koła mniejszego jest cięciwą o długości \(x\sqrt{5}\) oddaloną od środka koła o x. Promień koła wielkiego poprowadzony do końca tej cięciwy wyznacza trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości \(x\ i\ \frac{x\sqrt{5}}{2}\), a przeciwprostokątna to promień półkuli (15cm).

Z twierdzenia Pitagorasa:

\(x^2+(\frac{x\sqrt{5}}{2})^2=15^2\\\frac{9}{4}x^2=225\\x^2=100\\x=10cm\)

Objętość tego graniastosłupa:

\(V=x^2\cdot2x=2x^3\\V=2\cdot1000=2000cm^3\)

[karina4]

czy mogę prosić o rozwiązanie podobnego zadania: Z kawałka drutu o długości 96cm wykonano model prostopadłościanu o podstawie kwadratu największej objętości. Jakie są wymiary tego prostopadłościanu?

[korki_fizyka]

Pełnego rozwiązania nie dostaniesz, bo zadanie jest bardzo proste i na pewno sobie z nim poradzisz. Wskazówka: 96 = obwód = 8a + 4b
\(V(b)= a^2b\) - jest to funkcja liniowa tylko jednej zmiennej, której obliczysz pochodną i przyrównasz ją do zera (warunek konieczny istnienia ekstremum).

[korki_fizyka]

Zwróć też uwagę na p.12 regulaminu: viewtopic.php?f=29&t=12617

[karina4]

Dzięki za pomoc ....masz rację nie było to trudne:)