forum.zadania.info

Czy zbiór A jest otwartym? Czy zbiór A jest domknięty? Rozważ topologię daną przez metrykę euklidesową(naturalną). I dlaczego taka odpowiedź.Jak narysować?
1.\(A= \left\{ x \in R: x^7-x^2+1 \le 0\right\} \subset R\)

\(W(x)=x^7-x^2+1\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe \(x_0\), w którym zmienia znak (bo inaczej byłaby stałego znaku, a jest nieparzystego stopnia). Mamy \(x_0\in A\), ale w dowolnym otoczeniu \(x_0\) są punkty spoza \(A\), zatem \(A\) nie jest otwarty. Dopełnieniem \(A\) jest zbiór \(A^c=\left\{x\in R:\,W(x)>0\right\}\). Ponieważ \(W(x)\) jest ciągła, to jeśli \(W(x)>0\), to również w pewnym otoczeniu \(x\) ten warunek jest zachowany, czyli to otoczenie należy do \(A^c\). Stąd \(A^c\) jest otwarty, zatem \(A\) jest domknięty.