forum.zadania.info

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt ABCD. Długości boków AB, BC i przekątnej AC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz stosunek pole powierzchni bocznej tego walca do pola jego podstawy. (rozpatrz dwa przypadki)

dziekuję

\(|AB|=a,\ |BC|=aq,\ |AC|=aq^2\)


1)
\(2r=a\\r=\frac{1}{2}a\\H=aq\)

\(\frac{P_b}{P_p}=\frac{2\pi\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ aq}{\pi\cdot(\frac{1}{2}a)^2}=4q\)

2)
\(H=a\\2r=aq\\r=\frac{1}{2}aq\)

\(\frac{P_b}{P_p}=\frac{2\pi\cdot\frac{1}{2}aq\cdot\ a}{\pi\cdot(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{4}{q}\)

Z twierdzenia Pitagorasa:

\(a^2+a^2q^2=a^2q^4\ /:a\\1+q^2=q^4\\q^2=x\\x^2-x-1=0\\\Delta=5\\x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0\\x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(q=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)

1)
\(4q=4\cdot\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=2\sqrt{2\sqrt{5}-2}\)

2)
\(\frac{4}{q}=\frac{4}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}=2\sqrt{2\sqrt{5}+2}\)