1.W równoległoboku ABCD ktrótszy bok AD ma długość 17cm, krótsza wysokość DE ma długość 15cm , a długość krótszej przekątnej BD wynosi 25cm . Wiedząc że dłuższa wysokość DF zawiera się równologłoboku oblicz:
a) obwód i pole równoległoboku ABCD
b) długość wysokości DF tego równoległoboku
2. W trapez równoramienny wpisano okag którego średnica wynosi 8 cm . Obwód trapezu jest równy 40 cm . Oblicz:
a) pole trapezu
b) długości boków trapezu
c) sinus kąta osterego przecięcia przekątnych tego trapezu
geometria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
2.
Wysokość trapezu(h) wynosi 8cm.
Jeśli w trapez wpisano okrąg, to suma podstaw (a, b) trapezu jest równa sumie jego ramion (2c). Ponieważ obwód trapezu jest równy 40cm, więc suma podstaw jest równa 20cm i suma ramion jest równa 20cm (każde z ramion ma 20cm).
a)
Pole trapezu:
\(P=\frac{a+b}{2}\cdot\ h=\frac{20}{2}\cdot8=80cm^2\)
b)
Jeśli poprowadzisz wysokości trapezu z końców krótszej podstawy, to podzieli ona dłuąszą podstawę na odcinek równy b oraz 2 odcinki o długościach \(x=\frac{a-b}{2}\).
\(x^2+8^2=10^2\\x^2=36\\x=6cm\)
a=b+12, a+b=20
2b+12=20, b=4cm, a=16cm.
Boki tego trapezu mają długości 16cm, 10cm, 4cm, 10cm.
Wysokość trapezu(h) wynosi 8cm.
Jeśli w trapez wpisano okrąg, to suma podstaw (a, b) trapezu jest równa sumie jego ramion (2c). Ponieważ obwód trapezu jest równy 40cm, więc suma podstaw jest równa 20cm i suma ramion jest równa 20cm (każde z ramion ma 20cm).
a)
Pole trapezu:
\(P=\frac{a+b}{2}\cdot\ h=\frac{20}{2}\cdot8=80cm^2\)
b)
Jeśli poprowadzisz wysokości trapezu z końców krótszej podstawy, to podzieli ona dłuąszą podstawę na odcinek równy b oraz 2 odcinki o długościach \(x=\frac{a-b}{2}\).
\(x^2+8^2=10^2\\x^2=36\\x=6cm\)
a=b+12, a+b=20
2b+12=20, b=4cm, a=16cm.
Boki tego trapezu mają długości 16cm, 10cm, 4cm, 10cm.
c)
Kąt między przekątnymi nazwijmy \(\alpha\). Nazwijmy Trapez ABCD, gdzie AB- dłuższa podstawa, CD- krótsza podstawa. Przekątne przecinają się w punkcie P. Trójkąty ABP i CDP są podobne i |AB|:|CD|=4. Wysokość trapezu poprowadzona przez punkt P ((EF) dzieli kąt \(\alpha\) na połowy. Jest ona podzielona punktem P w stosunku 4:1. Czyli
\(|PF|=\frac{4}{5}\cdot8=\frac{32}{5}\)
W trójkącie AFP
\(tg\frac{\alpha}{2}=\frac{8}{\frac{32}{5}}=\frac{5}{4}\)
\(sin\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}\\sin\alpha=\frac{40}{41}\)
Co prawda kąt, którego sinus obliczyliśmy, jest kątem rozwartym (\(tg\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{4}>1\), więc kąt \(\frac{\alpha}{2}>45^o\)).
Ostry kąt to kąt \(180^o-\alpha\), ale \(sin\alpha=sin(180^o-\alpha)\).
Zatem sinus kąta ostrego między przekątnymi jest równy \(\frac{40}{41}\).
Kąt między przekątnymi nazwijmy \(\alpha\). Nazwijmy Trapez ABCD, gdzie AB- dłuższa podstawa, CD- krótsza podstawa. Przekątne przecinają się w punkcie P. Trójkąty ABP i CDP są podobne i |AB|:|CD|=4. Wysokość trapezu poprowadzona przez punkt P ((EF) dzieli kąt \(\alpha\) na połowy. Jest ona podzielona punktem P w stosunku 4:1. Czyli
\(|PF|=\frac{4}{5}\cdot8=\frac{32}{5}\)
W trójkącie AFP
\(tg\frac{\alpha}{2}=\frac{8}{\frac{32}{5}}=\frac{5}{4}\)
\(sin\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}\\sin\alpha=\frac{40}{41}\)
Co prawda kąt, którego sinus obliczyliśmy, jest kątem rozwartym (\(tg\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{4}>1\), więc kąt \(\frac{\alpha}{2}>45^o\)).
Ostry kąt to kąt \(180^o-\alpha\), ale \(sin\alpha=sin(180^o-\alpha)\).
Zatem sinus kąta ostrego między przekątnymi jest równy \(\frac{40}{41}\).