zad 1. W trapezie ABCD , gdzie AB || CD, A=(-4,2) , B=(5,11), C=(7,1), a punkt D należy do prostej y=13x - 54. Oblicz:
a) współrzędne wierzchołka D
b) pole trapezu
zad 2. Prosta równoległa do prostej y=2x przechodząca przez wierzchołek A trójkąta ABC przecina bok BC w punkcie P. Oblicz pole trójkąta APC, gdy A=(3,2), B=(14,9), C=(-2,7).
zad 3. Dane są wektory \(\vec a= [3p, 2], \vec b=[8, -q], \vec c=[3q, 2p]\).
a) dla jakich wartości p i q wektory \(2 \vec a i -3 \vec b\) sa równe ?
b) dla wyznaczonych wartości p i q podaj współrzędne wektora przeciwnego do wektora \(\vec u = 3 \vec b - \vec c + 2 \vec a\).
zadania z wektorami, trapezem, trójkątem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Prosta AB
\(\frac{y-2}{x+4}=\frac{11-2}{5+4}\\y=x+6\)
Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt C:
\(y=x+k\\1=7+k\\k=-6\\y=x-6\)
Punkt D to punkt wspólny prostej CD i prostej y=13x-54
13x-54=x-6
x=4
y=-2
a)
D=(4, -2)
b)
\(|AB|=\sqrt{(5+4)^2+(11-2)^2}=9\sqrt{2}\\|CD|=\sqrt{(4-7)^2+(-2-1)^2}=3\sqrt{2}\)
Wysokość trapezu to odległość punktu C=(7,1) od prostej AB:x-y+6=0
\(d=\frac{|1\cdot7-1\cdot1+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{3\sqrt{2}+9\sqrt{2}}{2}\cdot6\sqrt{2}=72\)
Prosta AB
\(\frac{y-2}{x+4}=\frac{11-2}{5+4}\\y=x+6\)
Prosta CD jest równoległa do AB i przechodzi przez punkt C:
\(y=x+k\\1=7+k\\k=-6\\y=x-6\)
Punkt D to punkt wspólny prostej CD i prostej y=13x-54
13x-54=x-6
x=4
y=-2
a)
D=(4, -2)
b)
\(|AB|=\sqrt{(5+4)^2+(11-2)^2}=9\sqrt{2}\\|CD|=\sqrt{(4-7)^2+(-2-1)^2}=3\sqrt{2}\)
Wysokość trapezu to odległość punktu C=(7,1) od prostej AB:x-y+6=0
\(d=\frac{|1\cdot7-1\cdot1+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{3\sqrt{2}+9\sqrt{2}}{2}\cdot6\sqrt{2}=72\)
2.
Prosta AP jest równoległa do prostej y=2x i przechodzi przez punkt A(3,2):
\(y=2x+k\\2=6+k\\k=-4\\y=2x-4\)
Prosta BC:
\(\frac{y-7}{x+2}=\frac{9-7}{14+2}\\x-8y=-58\)
Punkt P:
\(\begin{cases} x-8y=-58\\2x-y=4\end{cases} \begin{cases} x=6\\y=8\end{cases}\)
\(|AP|= \sqrt{(6-3)^2+(8-2)^2}=3\sqrt{5}\)
Wysokość trójkąta APC to odległość punktu C od prostej AP: 2x-y-4=0
\(d=\frac{|2\cdot(-2)-7-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=3\sqrt{5}\)
Pole PBA:
\(\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{5})^2=\frac{45}{2}\)
Prosta AP jest równoległa do prostej y=2x i przechodzi przez punkt A(3,2):
\(y=2x+k\\2=6+k\\k=-4\\y=2x-4\)
Prosta BC:
\(\frac{y-7}{x+2}=\frac{9-7}{14+2}\\x-8y=-58\)
Punkt P:
\(\begin{cases} x-8y=-58\\2x-y=4\end{cases} \begin{cases} x=6\\y=8\end{cases}\)
\(|AP|= \sqrt{(6-3)^2+(8-2)^2}=3\sqrt{5}\)
Wysokość trójkąta APC to odległość punktu C od prostej AP: 2x-y-4=0
\(d=\frac{|2\cdot(-2)-7-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=3\sqrt{5}\)
Pole PBA:
\(\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{5})^2=\frac{45}{2}\)
3.
\(a\vec{a}=2\cdot[3p;2]=[6p;4]\\3\vec{b}=3\cdot[8;-q]=[24;-3q]\\2\vec{a}=3\vec{b}\\\ [6p;4]=[24;-3q]\\ \begin{cases} 6p=24\\4=-3q\end{cases} \\ \begin{cases} p=4\\q=-\frac{4}{3}\end{cases}\)
\(\vec{a}=[12;2]\ \ \vec{b}=[8;\frac{4}{3}]\ \ \vec{c}=[-4;8]\\\vec{u}=3[8;\frac{4}{3}]-[-4;8]+2[12;2]=[52;0]\\-\vec{u}=[-52;0]\)
\(a\vec{a}=2\cdot[3p;2]=[6p;4]\\3\vec{b}=3\cdot[8;-q]=[24;-3q]\\2\vec{a}=3\vec{b}\\\ [6p;4]=[24;-3q]\\ \begin{cases} 6p=24\\4=-3q\end{cases} \\ \begin{cases} p=4\\q=-\frac{4}{3}\end{cases}\)
\(\vec{a}=[12;2]\ \ \vec{b}=[8;\frac{4}{3}]\ \ \vec{c}=[-4;8]\\\vec{u}=3[8;\frac{4}{3}]-[-4;8]+2[12;2]=[52;0]\\-\vec{u}=[-52;0]\)