wyznacz odległość punktu od prostej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wyznacz odległość punktu od prostej
wyznacz odległość punktu (3,-1,-1) od prostej przechodzącej przez punkty (0,2,1) oraz (-2,-1,-1)
Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty \((x_1,y_1,z_1)\ i\ (x_2,y_2,z_2)\):
\(\begin{cases}x=x_1+lt\\y+y_1+my\\z=z_1+nt\end{cases}\)
gdzie
\(\begin{cases}l=x_2-x_1\\m=y_2-y_1\\n=z_2-z_1\end{cases}\)
Odległość punktu \((x_0,y_0,z_0)\) od prostej opisanej równaniem parametrycznym:
\(d=\frac{ \sqrt{\begin{vmatrix}y_1-y_0\ z_1-z_0\\m\ n\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}z_1-z_0\ x_1-x_0\\n\ l \end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}x_1-x_0\ y_1-y_0\\l\ m \end{vmatrix}^2}}{ \sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
Równanie danej prostej:
\(\begin{cases}x=-2+2t\\y=-1+3t\\z=-1+2t \end{cases}\)
\(\begin{vmatrix}y_1-y_0\ z_1-z_0\\m\ n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}0\ 0\\3\ 2 \end{vmatrix} =0\)
\(\begin{vmatrix}z_1-z_0\ x_1-x_0\\n\ l \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0\ -5\\2\ 2\end{vmatrix} =10\)
\(\begin{vmatrix}x_1-x_0\ y_1-y_0\\l\ m \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}-5\ 0\\2\ 3\end{vmatrix}=-15\)
\(d=\frac{ \sqrt{0^2+10^2+(-15)^2}}{ \sqrt{2^2+3^2+2^2}} =\frac{5\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\)
\(\begin{cases}x=x_1+lt\\y+y_1+my\\z=z_1+nt\end{cases}\)
gdzie
\(\begin{cases}l=x_2-x_1\\m=y_2-y_1\\n=z_2-z_1\end{cases}\)
Odległość punktu \((x_0,y_0,z_0)\) od prostej opisanej równaniem parametrycznym:
\(d=\frac{ \sqrt{\begin{vmatrix}y_1-y_0\ z_1-z_0\\m\ n\end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}z_1-z_0\ x_1-x_0\\n\ l \end{vmatrix}^2+ \begin{vmatrix}x_1-x_0\ y_1-y_0\\l\ m \end{vmatrix}^2}}{ \sqrt{l^2+m^2+n^2}}\)
Równanie danej prostej:
\(\begin{cases}x=-2+2t\\y=-1+3t\\z=-1+2t \end{cases}\)
\(\begin{vmatrix}y_1-y_0\ z_1-z_0\\m\ n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}0\ 0\\3\ 2 \end{vmatrix} =0\)
\(\begin{vmatrix}z_1-z_0\ x_1-x_0\\n\ l \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0\ -5\\2\ 2\end{vmatrix} =10\)
\(\begin{vmatrix}x_1-x_0\ y_1-y_0\\l\ m \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}-5\ 0\\2\ 3\end{vmatrix}=-15\)
\(d=\frac{ \sqrt{0^2+10^2+(-15)^2}}{ \sqrt{2^2+3^2+2^2}} =\frac{5\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\)