Obliczyć objętość oraz pole powierzchni równoległościanu o wierzchołkach:
A (2,3,4) ; B(3,4,6) ; C(1,2,4) ; D(0,8,6).
Obliczyć objętość oraz pole powierzchni równoległościanu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Myślę, że jest to zatem równoległościan wyznaczony przez wektory \(\vec{AB},\ \vec{AC},\ \vec{AD}\)
\(\vec{AB}=[1,1,2]\\\vec{AC}=[-1,-1,0]\\\vec{AD}=[-2,5,2]\)
Podstawą jest równoległobok wyznaczony przez wektory \(\vec{AB}\ i\ \vec{AC}\)
\(\vec{AB}x\vec{AC}=\begin{vmatrix}i\ j\ k\\1\ 1\ 2\\-1\ -1\ 0\end{vmatrix}=2i-2j=[2,-2,0]\)
Pole podstawy \(P_p\)
\(P_p=|\vec{AB}x\vec{AC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=2\sqrt{2}\)
Równanie płaszczyzny zawierającej wektory AB i AC, przechodzącej przez punkt (2,3,4)
\(\begin{vmatrix}x-2\ y-3\ z-4\\1\ \ 1\ \ 2\\-1\ -1\ 0\end{vmatrix}=2x-2y+2=0\)
Wysokość tego równoległościanu to odległość punktu D od tej płaszczyzny.
\(H=\frac{|2\cdot0-2\cdot8+0\cdot6+2|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}}=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
Objętość:
\(V=2\sqrt{2}\cdot\frac{16}{2\sqrt{2}}=16\)
Pole ściany wyznaczonej przez wektory AB i AD
\(\vec{AB}x\vec{AD}=\begin{vmatrix}i\ j\ k\\1\ 11\ 2\\-1\ 5\ 2\end{vmatrix}=-8i-6j+7k\)
Pole \(\sqrt{(-8)^2+(-6)^2+7^2}=\sqrt{149\)
Pole ściany wyznaczonej przez wektory AC i AD policzyłam podobnie \(\vec{AC}x\vec{AD}=[-2,2,-7]\\P=\sqrt{57}\)
Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot2\sqrt{2}+2\sqrt{149}+2\sqrt{57}=2(2\sqrt{2}+\sqrt{149}+\sqrt{57})\)
\(\vec{AB}=[1,1,2]\\\vec{AC}=[-1,-1,0]\\\vec{AD}=[-2,5,2]\)
Podstawą jest równoległobok wyznaczony przez wektory \(\vec{AB}\ i\ \vec{AC}\)
\(\vec{AB}x\vec{AC}=\begin{vmatrix}i\ j\ k\\1\ 1\ 2\\-1\ -1\ 0\end{vmatrix}=2i-2j=[2,-2,0]\)
Pole podstawy \(P_p\)
\(P_p=|\vec{AB}x\vec{AC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=2\sqrt{2}\)
Równanie płaszczyzny zawierającej wektory AB i AC, przechodzącej przez punkt (2,3,4)
\(\begin{vmatrix}x-2\ y-3\ z-4\\1\ \ 1\ \ 2\\-1\ -1\ 0\end{vmatrix}=2x-2y+2=0\)
Wysokość tego równoległościanu to odległość punktu D od tej płaszczyzny.
\(H=\frac{|2\cdot0-2\cdot8+0\cdot6+2|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}}=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
Objętość:
\(V=2\sqrt{2}\cdot\frac{16}{2\sqrt{2}}=16\)
Pole ściany wyznaczonej przez wektory AB i AD
\(\vec{AB}x\vec{AD}=\begin{vmatrix}i\ j\ k\\1\ 11\ 2\\-1\ 5\ 2\end{vmatrix}=-8i-6j+7k\)
Pole \(\sqrt{(-8)^2+(-6)^2+7^2}=\sqrt{149\)
Pole ściany wyznaczonej przez wektory AC i AD policzyłam podobnie \(\vec{AC}x\vec{AD}=[-2,2,-7]\\P=\sqrt{57}\)
Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot2\sqrt{2}+2\sqrt{149}+2\sqrt{57}=2(2\sqrt{2}+\sqrt{149}+\sqrt{57})\)