forum.zadania.info

Dana jest rodzina funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej \(x\), opisana wzorem \(f_{(x)}=-\frac{1}{2}x^2+ax-6\), gdzie gdzie \(a\) jest liczbą rzeczywistą.

a) dla \(a=1\) wyznacz zbiór tych argumentów dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe niż funkcja \(g_{(x)}=x-8\)
b) wyznacz liczbę \(a\) dla której zbiorem wartości funkcji \(f_{(x)}\) jest przedział \((-\infty, 0\rangle\)
c) dla \(a=4\) napisz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.

a)
dla a=1

\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-6\\-\frac{1}{2}x^2+x-6>x-8\\-\frac{1}{2}x^2>-2\ /\cdot(-2)\\x^2<4\\x\in(-2;2)\)

b)
\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+ax-6\\\Delta=a^2-12

y_w=-\frac{\Delta}{4a}=0\\\frac{a^2-12}{2}=0\\a^2=12\\a=2\sqrt{3}\ \vee\ a=-2\sqrt{3}\)

c)

\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+4x-6\\p=x_w=-\frac{4}{-1}=4\\q=y_w=-\frac{\Delta}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\\f(x)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+2\)