forum.zadania.info

pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\) jest równy \((-1)\). wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniaja warunek: \(a_3-2a_4=8a_3+4\)

a) oblicz iloraz tego ciągu
b) zbadaj monotoniczność tego ciągu

Pomyłka:
\(a_3-2a_4=8a_2+4\)

a.
\(a_1q^2-2a_1q^3=8a_1q+4
-q^2+2q^3=-8q+4
2q^3-q^2+8q-4=0
q^2(2q-1)+4(2q-1)=0
(2q-1)(q^2+4)=0
q=\frac{1}{2}\)

b.
\(a_1=-1
a_2=-\frac{1}{2}
a_3=-\frac{1}{4}
a_4=-\frac{1}{8}\)

ciąg rosnący (\(a_1 <0 \ \wedge \ q\in (0;1)\))

\(a_1=-1\\a_2=a_1q=-q\\a_3=-q^2\\a_4=-q^3\\-q^2_2q^3+8q-4=0\\q^2(2q-1)+4(2q-1)=0\\(q^2+4)(2q-1)=0\\q^2+4>0\\q=\frac{1}{2}\)

\(a_{n+1}-a_n=-q^n+q^{n-1}=(\frac{1}{2})^{n-1}-(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^n}>0\)

Czyli ciąg jest rosnący.