1.Wyzraz pierwszy i iloraz ciągu geometrycznego (\(a _{n}\)) są odpowiednio równe 1 oraz \(k^2-4\). Zbadaj dla jakich wartosci parametru k ciąg (\(b _{n}\) ), w którym\(b _{n} =log^2a _{n+1}-log^2a _{n}\) jest ciągiem arytmetycznym.
2.Długosci boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. oblicz iloraz q tego ciągu.
3.DŁUGOSCI BOKÓW A,B,C TRÓJKĄTA SĄ KOLEJNYMI WYRAZAMI CIĄGU GEOMETRYCZNEGO . OKRESL WARUNKI, JAKIE MUSI SPEŁNIC ILORAZ Q TEGO CIĄGU.
ciąg geometryczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
marcin2447
- Często tu bywam
- Posty: 153
- Rejestracja: 12 cze 2009, 13:08
- Podziękowania: 35 razy
2.
a, b, c - długości boków trójkąta prostokątnego, tworzące rosnący ciąg geometryczny (q>1 i a>0)
\(b=aq\\c=aq^2\\a^2+b^2=c^2\\a^2+a^2q^2=a^2q^4\ /:a^2\\1+q^2=q^4\\q^4-q^2-1=0\\\Delta=5\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\\q_1^2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\vee\ q_2^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1-\sqrt{5}<0\\q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\q>0\\q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)
a, b, c - długości boków trójkąta prostokątnego, tworzące rosnący ciąg geometryczny (q>1 i a>0)
\(b=aq\\c=aq^2\\a^2+b^2=c^2\\a^2+a^2q^2=a^2q^4\ /:a^2\\1+q^2=q^4\\q^4-q^2-1=0\\\Delta=5\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\\q_1^2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\vee\ q_2^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1-\sqrt{5}<0\\q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\q>0\\q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)
3.
a, b, c - boki trójkąta tworząca ciąg geometryczny o ilorazie q (q>0)
\(b=aq\\c=aq^2\)
Z nierówności trójkąta mamy:
a+b>c
a+c>b
b+c>a, czyli
\(\begin{cases}a+aq>aq^2\\a+aq^2>aq\\aq+aq^2>a\end{cases}\\\begin{cases}q^2-q-1<0\\q^2-q+1>0\\q^2+q-1>0\end{cases}\\q>0\\\begin{cases}q\in(0;\ \frac{1+\sqrt{5}}{2})\\q\in(0;\ \infty)\\q\in(\frac{\sqrt{5}-1}{2};\ \infty)\end{cases}\\q\in(\frac{\sqrt{5}-1}{2};\ \frac{\sqrt{5}+1}{2})\)
a, b, c - boki trójkąta tworząca ciąg geometryczny o ilorazie q (q>0)
\(b=aq\\c=aq^2\)
Z nierówności trójkąta mamy:
a+b>c
a+c>b
b+c>a, czyli
\(\begin{cases}a+aq>aq^2\\a+aq^2>aq\\aq+aq^2>a\end{cases}\\\begin{cases}q^2-q-1<0\\q^2-q+1>0\\q^2+q-1>0\end{cases}\\q>0\\\begin{cases}q\in(0;\ \frac{1+\sqrt{5}}{2})\\q\in(0;\ \infty)\\q\in(\frac{\sqrt{5}-1}{2};\ \infty)\end{cases}\\q\in(\frac{\sqrt{5}-1}{2};\ \frac{\sqrt{5}+1}{2})\)
1.
\(a_1=1,\ q=k^2-4\\a_n=q^{n-1},\ a_{n+1}=q^n,\ a_{n+2}=q^{n+1},\ a_{n+3}=q^{n+2}\)
\(b_n=log^2q^n-log^2q^{n-1}=(logq^n+logq^{n-1})(logq^n-logq^{n-1})=logq^{n+n-1}\cdot\ logq\)
\(b_n=(2n-1)\cdot\ log^2q\)
\(q>0\\k^2-4>0\\k\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty)\)
\(b_{n+1}=log^2q^{n+1}-log^2q^n=(2n+1)\cdot\ log^2q\)
\(b_{n+2}=(2n+3)\cdot\ log^2q\)
\(2b_{n+1}=b_n+b_{n+2}\\(4n+2)\cdot\ log^2q=(2n+3)\cdot\ log^2q+(2n-1)\cdot\ log^2q\\(4n+2)\cdot\ log^2q=(4n+2)\cdot\ log^2q\)
Dla każdego q>0 ciąg (\(b_n\)) jest arytmetyczny.
\(k\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty)\)
\(a_1=1,\ q=k^2-4\\a_n=q^{n-1},\ a_{n+1}=q^n,\ a_{n+2}=q^{n+1},\ a_{n+3}=q^{n+2}\)
\(b_n=log^2q^n-log^2q^{n-1}=(logq^n+logq^{n-1})(logq^n-logq^{n-1})=logq^{n+n-1}\cdot\ logq\)
\(b_n=(2n-1)\cdot\ log^2q\)
\(q>0\\k^2-4>0\\k\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty)\)
\(b_{n+1}=log^2q^{n+1}-log^2q^n=(2n+1)\cdot\ log^2q\)
\(b_{n+2}=(2n+3)\cdot\ log^2q\)
\(2b_{n+1}=b_n+b_{n+2}\\(4n+2)\cdot\ log^2q=(2n+3)\cdot\ log^2q+(2n-1)\cdot\ log^2q\\(4n+2)\cdot\ log^2q=(4n+2)\cdot\ log^2q\)
Dla każdego q>0 ciąg (\(b_n\)) jest arytmetyczny.
\(k\in(-\infty;-2)\cup(2;\infty)\)