szereg potęgowy

[kaziolo]

Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^n}{n^3}x^n\)

[patryk00714]

\(\lambda= \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}\), gdzie \(c_n=\frac{3^n}{n^3}\)

\((-\frac{1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda})\) i pozsotaje sprawdzić na krańcach przedziału

[kaziolo]

Czyli
\(\lim_{n\to + \infty } \frac{3^{n+1} \cdot n^3}{(n+1)^3 \cdot 3^n}= \lim_{n\to + \infty } \frac{3n^3}{(n+1)^3}\)
i dalej z d'Hospitala?

[kacper218]

nie potrzeba z de'hospitala wykonaj działania a potem dzielimy przez wyrażenie w najwyższej potędze

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty } \frac{3n^3}{n^3+3n^2+3n+1}= \lim_{n\to } \frac{n^3\cdot 3}{n^3\cdot (1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=\frac{3}{1+0+0+0}=3\)

[kaziolo]

\(\lim_{n\to + \infty } \frac{3n^3}{1+ \frac{3}{n}+ \frac{3}{n^2}+ \frac{1}{n} }=3\)
Zatem promień zbieżności
\(R= \frac{1}{3}\)
czyli przedział zbieżności:
\((x_o-R,x_0+R)=( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3})\)

Dobrze?

[kaziolo]

\(x=- \frac{1}{3}\)
\(\sum_{ n=1}^{ \infty }= \frac{3^n}{n^3}(- \frac{1}{3})^n= \sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n \frac{1}{n^3}\\ \lim_{n\to \infty }\frac{1}{n^3}=0\)
Zatem na mocy kryterium Liebnitza szereg jest zbieżny.

[eresh]

jeszcze wypadałoby sprawdzić czy \(a_n=\frac{1}{n^3}\) jest nierosnący

poza tym jest dobrze