Całka podwójna

[ibefree]

Witam,

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu:

\(\int_{}^{} \int_{D}^{} ln(1+x^2+y^2)dxdy\)

o wartościach:

\(D: |y| \le x\)

\(x^2 + y^2 \le 4\)

Z góry dziękuję,

[patryk00714]

potrzebujemy współrzędnych biegunowych.

Obszar to poniższa część okręgu:

kąt nam się zmienia od \(<\frac{\pi}{4},\frac{7}{4}\pi>\), a promień od \(<0,2>\). Pamiętajmy o jakobianie:

\(\int_{0}^{2} \left( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{7}{4}\pi} ln(1+r^2)rd\varphi \right)dr= \frac{3}{2}\pi \int_{0}^{2} ln(1+r^2)rdr =(*)\)


\(\int_{}^{} ln(1+r^2)rdr= \begin{vmatrix}1+r^2=u \\2rdr=du \\ rdr = \frac{1}{2}du \end{vmatrix}= \frac{1}{2}\int_{}^{}lnudu=\frac{1}{2}ulnu-u=\frac{1}{2}u(lnu-1)= \\ = \frac{1}{2}(1+r^2)[ln(1+r^2)-1]\)

zatem \((*)=\frac{3}{4}\pi \left[(1+r^2)[ln(1+r^2)-1] \right]^2_0=\frac{3}{4}\pi \left[5ln5-5- \left(-1 \right) \right]=\frac{3}{4}\pi \left(5ln5-4 \right)\)

[ibefree]

Dobrze narysowales wykres ? Mozesz wytlumaczyc z czego wynikaja te zakresy.

[patryk00714]

oj chyba źle. Powinien być obszar, który wykluczyłem, czyli korzystając z moich wcześniejszych obliczeń policz dla: \(0 \le \varphi \le 2\pi\) i \(0 \le r \le 2\)

i odejmij mój wynik

[ibefree]

tez nie .. mi sie wydaje ze to bedzie wykres powinien byc odwrotnie, przekrecony w prawa strone. Nie zapomniales tez o drugiej calce?

[patryk00714]

ogólnie ta całka powinna wyglądać tak:

\(\int_0^2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+r^2)rd\varphi dr\)

i po obliczeniach mamy wynik \(\pi (\frac{5}{4} ln5- 1)\)

nie będzie w prawo, bo mamy warunek \(|y|<x\) zatem to jest tak jakbyśmy mieli \(y>|x|\) przekręcone o 90 stopni w prawo.

Obszar wygląda tak:

Przechwytywanie2.PNG (15.5 KiB) Przejrzano 693 razy

ja początkowo myślałem ze jest \(|y|>x\) i na podstawie tego liczony jest moj pierwszy post.

[ibefree]

mozesz mi rozpisac jak sprowadziles calke do pojedynczej , jakis wzor ?

[patryk00714]

w tym ostatnim poście?

[ibefree]

Moglbym ciebie prosic o dokladne rozpisanie tej calki z obliczeniami bo nie wychodzi mi taki wynik jak tobie

[ibefree]

\(\frac{1}{2}*2 \frac{PI}{4}*5(ln5-1)= \frac{5PI}{4}(ln5-1)\)



Co robie zle?

[Szimi10]

\(\int_{0}^{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}ln(1+r^2)r d\varphi dr = \int_{0}^{2}\frac{\pi}{2}ln(1+r^2)rdr =^* \begin{bmatrix} 1+r^2=t \\ rdr=\frac{dt}{2} \end{bmatrix}= \\ = \int \frac{\pi}{4}lnt dt= \frac{\pi}{4}(tlnt-t)=^* \\ \frac{\pi}{4} [(1+r^2)ln(1+r^2)-\underline{ \underline{(1+r^2)}}]_0^2=\frac{\pi}{4}[(5ln5-5)-(1\cdot 0 - 1)]=\\ = \fbox{\pi(\frac{5}{4}ln5-1)}\)