Kartka papieru ma kształt trójkąta równoramiennego prostokątnego o wierzchołkach A, B, C, przy czym punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego. Kartkę tę zgięto wzdłuż wysokości BD (D spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka B) w ten sposób, że płaszczyzny ABD i CBD utworzyły kąt dwuścienny prosty. Wykaż, że wówczas odcinki AD i DC są prostopadłe oraz miara kąta ABC jest równa 60 stopni.
bardzo prosze o dokładne wytłumaczenie
Kartka papieru-trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dla uniknięcia nieporozumień oznaczmy punkt \(A\) po zgięciu kartki przez \(A'\).
Co do relacji odcinków \(A'D\) i \(DC\) to nie ma co udowadniać. Zgięto je wzdłuż osi do nich prostopadłej o kąt 90 stopni, zatem między nimi też jest kąt prosty.
Niech przyprostokątne \(AB\) (\(A'B\)) i \(BC\) mają długość \(a\). Wówczas przekątna \(AC=\sqrt{2}a\), a odcinki \(AD\) (\(A'D\)) i \(BD\) mają miarę \(\frac{\sqrt{2}}{2}a\).
Teraz z twierdzenia Pitagorasa dla \(A'CD\) mamy:
\(A'C^2 = A'D^2 + CD^2 \\ A'C = \sqrt{2\frac{2a^2}{4}}=a\)
Powyższy wynik pokazuje, że w trójkącie \(A'BC\) wszystkie boki mają długość \(a\), więc wszystkie kąty w nim mają miarę 60 stopni.
Co do relacji odcinków \(A'D\) i \(DC\) to nie ma co udowadniać. Zgięto je wzdłuż osi do nich prostopadłej o kąt 90 stopni, zatem między nimi też jest kąt prosty.
Niech przyprostokątne \(AB\) (\(A'B\)) i \(BC\) mają długość \(a\). Wówczas przekątna \(AC=\sqrt{2}a\), a odcinki \(AD\) (\(A'D\)) i \(BD\) mają miarę \(\frac{\sqrt{2}}{2}a\).
Teraz z twierdzenia Pitagorasa dla \(A'CD\) mamy:
\(A'C^2 = A'D^2 + CD^2 \\ A'C = \sqrt{2\frac{2a^2}{4}}=a\)
Powyższy wynik pokazuje, że w trójkącie \(A'BC\) wszystkie boki mają długość \(a\), więc wszystkie kąty w nim mają miarę 60 stopni.