forum.zadania.info

Trzy różne pierwiastki wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx-192\) tworzą ciąg arytmetyczny.
a) Oblicz wartości iloczynu pierwiastków wielomianu W(x).
b) Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x), wiedząc, że ich suma jest równa 18.
c) Uzasadnij,że dla każdej liczby parzystej wielomian W(x) przyjmuje wartości podzielne przez 16 i przez 24.

a)
oznaczmy te pierwiastki: \(x_0,x_0+r,x_0+2r\)
podany wielomian w postaci iloczynowej to: \(\left(x-x_0 \right)\left(x-(x_0+r) \right)\left(x-(x_0+2r) \right)\)
jego wyraz wolny to\(-x_0 \cdot \left( -\left(x_0+r \right)\right) \cdot \left( -\left(x_0+2r \right)\right)=-x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=-192\)
stąd iloczyn pierwiastków \(x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=192\)

b)
przy oznaczeniach takich jak w a) mamy:
\(x_0+x_0+r+x_0+2r=3x_0+3r=18 \Rightarrow x_0+r=6\)
\(\left(6-r \right) \cdot 6 \cdot \left(6-r \right)=192 \Rightarrow \left(6-r \right) \cdot \left(6-r \right) =32 \Rightarrow 36-r^2=32 \Rightarrow r^2=4\)

No to te pierwiastki to 4,6,8.

c)
wiemy juz o tym wielomianie , że to jest \((x-4)(x-6)(x-8)\)
no to jeśli x=2k
\((2k-4)(2k-6)(2k-8)=8(k-2)(k-3)(k-4)\)
liczby \((k-2)(k-3)(k-4)\) to kolejne liczby całkowite. Jedna z nich musi dzielić się przez 3 i jedna musi dzielić się przez 2
zatem iloczyn \(8(k-2)(k-3)(k-4)\) można zapisać jako \(8 \cdot 3 \cdot m\) oraz jako \(8 \cdot 2 \cdot n\)
cbdo.

Tak powinien być plus ale to przeoczenie bo liczenie jest tak jakby było plus.

Hej, nie wiem jak wywnioskować z treści zadania, że pierwiastki wielomianu należą do liczb całkowitych. Twierdzenie które zostaje użyte w podp. a) dotyczy liczb całkowitych w wielomianie (myślę o "a,b") oraz pierwiastków w(x)... Przynajmniej tak jest w moich tablicach jeżeli się mylę to przepraszam za błąd i proszę o wytłumaczenie.