Różniczkowalność funkcji dwóch zmiennych

[mmatix]

Zbadać różniczkowalność:

\(f(x,y)= \begin{cases}6 \ , \ (x,y)=(2,0) \\ 3x-2y- \frac{xy^3-2y^3}{ \sqrt{x^2-4x+4+y^2}} \ , \ (x,y) \neq (2,0) \end{cases}\)

Prosiłbym o rozwiązanie

[patryk00714]

trzeba sprawdzic, czy istnieją pochodne cząstkowe ciągłe w \((2,0)\)

[aqlec]

ale własnie mam to samo zadanie co podałeś w przykładzie viewtopic.php?f=37&t=5408 i w odpowiedziec mam ze tam nie jest rózniczkowalna. jak licze z definicji to tez mi wychodzi ze nie jest różniczkowlan w 0,0

[mmatix]

I tylko tyle wystarczy?

[kamil13151]

Oj Patryk...

Aby sprawdzić różniczkowalność funkcji \(f\) w punkcie \(x\), należy obliczyć jej pochodne cząstkowe w punkcie \(x\) (jeśli nie istnieją, to \(f\) nie jest różniczkowalna w \(x\)), następnie napisać "kandydata" na różniczkę \(L(h)= \sum_{i=1}^{k} h_i \frac{ \partial f}{ \partial x_i}(x)\) i sprawdzić, czy granica z definicji różniczki istnieje i jest równa \(0\).

[mmatix]

czyli \(\lim_{(h,k)\to(0,0) } \frac{f(h,k)-f(2,0)-f'(2,0) \begin{bmatrix} h \\k \end{bmatrix} }{ \sqrt{h^2+k^2} }\) i z tego wychodzi ze nie ma granicy, bo wychodzi \(\infty \ i \ - \infty\)wiec nie jest rózniczkowalna, tak?

[patryk00714]

oj rzeczywiscie - cos mi się pomyliło usuwam moje posty

[octahedron]

... czyli \(\lim_{(h,k)\to(0,0) } \frac{f(h,k)-f(2,0)-f'(2,0) \begin{bmatrix} h \\k \end{bmatrix} }{ \sqrt{h^2+k^2}}\)...

Powinno być:

\(\lim_{(h,k)\to(0,0) } \frac{f(2+h,k)-...}{ \sqrt{h^2+k^2}}\)

i wtedy wyjdzie, że jest różniczkowalna