forum.zadania.info

Udowodnij korzystając z definicji wartości bezwzględnej. \(Ix+yI \le IxI+IyI\)

trzeba porozbijać na przypadki:

\(x,y>0 \;\;\;\;\ 0 \ge 0\)

\(x>0 \;\;\ y<0 \;\;\;\ x+y>0 \;\;\;\ 0 \le -2y\)

\(x>0 \;\;\;\ y<0 \;\;\;\ x+y<0 \;\;\;\ 0 \le 2x\)

\(x,y<0 \;\;\;\ 0 \le 0\)

itp

O wiele lepiej jest po prostu podnieść do kwadratu i pozostaje pokazać, że \(|xy| \ge xy\) co jest już trywialne.

Czy to jest dobrze \(Ix+yI^2 \le (IxI+IyI)^2\)
\(x^2+2xy+y^2 \le x^2+2IxyI+y^2\)
\(xy \le IxyI\)
1.\(x \ge 0 i y \ge 0 ; xy \ge 0\) Zatem xy=xy
2.\(x \ge 0 i y<0 ; xy<0\) Zatem -xy>xy
3. x<0 i y<0 ; xy>0 Zatem xy=xy
4. \(x<0 i y \ge 0; xy<0\) Zatem -xy>xy

Nie ma potrzeby rozpatrywania 4 przypadków, wystarczą dwa, jakie?

x i y tego samego znaku oraz x i y różnych znaków.