Strumien, elipsa

[Dexous]

Mam podane rownanie elipsy \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1\)
oraz pole wektorowe \(F = ( x^2,y^2,z^2 )\)
Korzystam z twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego i otrzymuje
\(\int \int \int (2x+2y+2z) dxdydx\)
Przechodze na wspolrzedne sferyczne
\(x = ar sin \beta cos \alpha\)
\(y = br sin \beta sin \alpha\)
\(z = cr cos \beta\)
\(J = abc r^2 sin \beta\)
\(r \in [ 0,1]\)
\(\alpha \in [0;2 \pi ]\)
\(\beta \in [ 0; \pi ]\)
i w efekcie otrzymuje \(\int_{0}^{2\pi}d\alpha \int_{0}^{\pi}d\beta \int_{0}^{1} [2arsin(\beta) cos(\alpha)+2brsin(\beta) sin(\alpha) + 2cr cos(\beta)]abc r^2 sin(\beta) dr\)
i pozniej rozbilem to na 3 calki i kazda wychodzi mi \(0\) . Czy mozliwy jest taki wynik ?

[octahedron]

Pole na dolnej połówce elipsoidy jest takie samo jak na górnej, tylko skierowane przeciwnie względem powierzchni. Musi więc wyjść zero.