ekstremum funkcji dwóch zmiennych

[vadim]

\(f(x,y)=(x^2-y^2)e^x\).
Dlaczego \(fx'=(2x+x^2-y^2)e^x\), a nie \(2x \cdot e^x\)?

[patryk00714]

mamy tutaj iloczyn funkcji uzależnionych od x-a, zatem

\(\frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=2xe^x+(x^2-y^2)e^x=e^x(x^2-y^2+2x)\)

[Mash]

po x to y jest jako stała, więc:
\(\frac{ \partial f}{ \partial x}=(x^2e^x-e^xy^2)'=2x \cdot e^x+x^2e^x-e^xy^2..\)
na początku pochodna iloczynu a później \(y^2\) traktujesz jako stałą więc pochodna po \(e^x\)

Nie wiem czy zapis formalny jest dobry, ale sens na pewno tak.

[Mash]

Oczywiście jak zawsze spóźniony...
Minusa brakło

[vadim]

A \(fxx'=(2+4x+x^2-y^2)e^x\). Skąd się bierze 4x?

[patryk00714]

\(\frac{ \partial f}{ \partial x}=e^x(x^2-y^2+2x)\)

\(\frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}(x,y)=e^x(x^2-y^2+2x)+e^x(2x+2)=e^x(x^2-y^2+2x+2x+2)=e^x(x^2+4x-y^2+2)\)

[vadim]

Jeszcze ekstremum takiej funkcji. Czy dobrze wyznaczyłem pochodne, bo wydaje mi się, że nie.

\(f(x,y)=2xy+ \frac{1}{x+y}
f_x'=2y-y^{-2}
f_y'=2x-x^{-2}\)

[Mash]

A jak liczysz pochodną czegoś takiego:
\(\frac {1}{x+y}\) gdzie y to stała, czyli powiedzmy coś takiego: \(\frac{1}{x+c}\) ?

Odpowiedź, to będzie pochodna po x.

[vadim]

Czyli pochodne będą wyglądały tak?:
\(f_x'=2y-x^{-2}
f_y'=2x-y^{-2}\)

[patryk00714]

nie, mamy tak:

\(f(x,y)=2xy+\frac{1}{x+y}\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y-\frac{1}{(x+y)^2} \;\;\;\;\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x-\frac{1}{(x+y)^2\)

[Mash]

Nie, nie ma sensu strzelać.
Pochodna ilorazu, wzorek wygląda tak:
\((\frac{1}{x+y})'=\frac{1'\cdot (x+y) - 1\cdot (x+y)'}{(x+y)^2\)

Policz to teraz, traktując y jako zwykłą liczbę, i będziesz miał część drugą Twojej pochodnej \(f'_x\)

[Mash]

Zawsze można sobie podstawić, \(t=x+y\) wtedy ułamek będzie wyglądał tak:\(\frac{1}{t}\) pochodna z \(t^{-1}\) to \(\frac{-1}{t^{2}}\) no i teraz wystarczy podstawić za \(t\).

[patryk00714]

no to jedyny punkt stacjonarny to rzecz jasna \(P=(0,0)\)

i teraz hesjan zbudować trzeba - wygląda on tak: \(H= \begin{vmatrix} \frac{ \partial^2f }{ \partial x^2 }& \frac{ \partial^2f }{ \partial y \partial x} \\ \frac{ \partial^2 f }{ \partial x \partial y } & \frac{ \partial^2f }{ \partial y^2 } \end{vmatrix}\)

[vadim]

Idąc dalej:
\(f_{xx}''= \frac{2}{(x+y)^3}
f_{yy}''= \frac{2}{(x+y)^3}
f_{xy}''=2+ \frac{2}{(x+y)^3}\)
Czy dobrze?

[patryk00714]

w ostatnim także plusik, a nie minusik poza tym w porządeczku