Objętośc graniastosłupa

[jordan125]

Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległoboku o kącie ostrym alfa. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami beta i gama (beta < gama), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[anka]

Obliczam \(e\)
\(ctg\gamma=\frac{|BD|}{|DD'|}\\
ctg\gamma=\frac{e}{H}\\
e=Hctg\gamma\)

Obliczam \(f\)
\(ctg\beta=\frac{|AC|}{|CC'|}\\
ctg\beta=\frac{f}{H}\\
f=Hctg\beta\)

Obliczam pole podstawy
\(P=ah\)
\(sin\alpha=\frac{h}{b} \Rightarrow h=b sin\alpha\)
\(P=ab sin\alpha\)

Z twierdzenia cosinusów dla trojkątów w podstawie mamy
\(e^2=a^2+b^2-2abcos\alpha \Rightarrow a^2+b^2=e^2+2abcos\alpha\)

\(f^2=a^2+b^2-2abcos(180^o-\alpha)\)
\(f^2=a^2+b^2+2abcos\alpha\)
\(f^2=e^2+2abcos\alpha+2abcos\alpha\)
\(f^2=e^2+4abcos\alpha\)
\(ab=\frac{f^2-e^2}{4cos\alpha}\)

czyli
\(P=ab sin\alpha\)
\(P=\frac{f^2-e^2}{4cos\alpha} sin\alpha\)
\(P=\frac{f^2-e^2}{4} tg\alpha\)

Podstaw
\(e=Hctg\gamma\)
\(f=Hctg\beta\)


\(V=\frac{1}{4} H^3 tg \alpha (ctg^2 \beta - ctg{^2 \gamma)\)