Prawdopodobieństwo zad.5 Bal PILNE !

[kaziolo]

W loterii fantowej zorganizowanej na balu szansa wygranej jest równa p, przegranej q, przy czym p+q<1, a z prawdopodobieństwem r wyciągamy los "graj dalej", który wrzucamy z powrotem do urny i dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

[Galen]

Wygrana za pierwszym razem z prawdopodobieństwem p
Wygrana w drugim losowaniu ma prawdopodobieństwo rp
Wygrana w trzecim losowaniu ma prawdopodobieństwo \(r^2p\)
w trzecim \(r^3p\) itd.
To możesz pokazać po narysowaniu drzewka,w którym na każdym piętrze będą 3 gałązki z prawdopodobieństwami
p , q , r.Pod trzecią gałązką powtarza się układ jak w pierwszym losowaniu...

[kaziolo]

p-wygrana, q-przegrana, n-szansa
\(\Omega= \left\{p,rp,rrp,rrrp, ... \right\} \cup A\), gdzie A- nigdy nie wyciągniemy
\(P(1)=p\\P(2)=rp\\P(3)=r^2p\\......\\P(k)=pr^{k-1}\\P(X \le k)=P(1)+P(2)+...+P(k)= \sum_{k=0}^{n}pr^{k-1}=np \sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=np \sum_{k=0}^{n}r^k=np \frac{1}{1-r}= \frac{np}{1-r}\)

Poprawnie?

[Galen]

Jest dobrze,jeśli powiemy,że było n losów w tej loterii.

[kaziolo]

ale też możemy to pominąć dzięki czemu będzie \(\frac{p}{1-r}\)?

[octahedron]

Według mnie trzeba sumować w nieskończoność:

\(\sum_{k=1}^\infty P(k)=\sum_{k=1}^\infty pr^{k-1}=\frac{p}{1-r}\)