prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
prawdopodobieństwo
Przy okrągłym stole zasiadło 12 polityków:3 z partii X, 5 z partii Y i 4 z partii Z.Oblicz prawdopodobieństwo,że wszyscy politycy z partii X będą siedzieli obok siebie w dowolnym porządku.wynik podaj w procentach z dokładnością do części dziesiątych.
-
Szimi10
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
Polityków z partii \(Y\) i z partii \(Z\) możemy nie rozróżniać na partie (lub potraktować jako jedną partię), ponieważ interesuje nas tylko liczba polityków którzy muszą siedzieć obok siebie (zdarzenie sprzyjające) oraz liczba "reszty" polityków.
Zaczniemy od wyliczenia wszystkich mozliwych przypadków kiedy to politycy z partii \(X\) siedzą obok siebie.
Skożystamy z permutacji \(P_n=n!\).
Na początek wyliczymy na ile sposobów politycy z partii \(X\) mogą usiąść obok siebie. Następnie na ile sposobów mogą usiąść pozostali politycy po czym wyniki pomnożymy otrzymując liczbę zdarzeń sprzyjających. Później policzymy na ile sposobów mogą usiąść wszyscy politycy co nam da \(|\Omega|\) (moc omega). I w końcu policzymy prawdopodobieństwo. Zadanie podzielimy na trzy części.
Mamy plan, więc działamy:
\(1^\circ\)
I sposób
Polityków z partii \(X\) jest trzech, wiec \(P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3\cdot = 6\). Mogą oni usiąść obok siebie na \(6\) sposobów. Ale mamy \(12\) stołków, więc mogą się umiejscowić w różnych miejscach
(na \(6\) sosobów). Policzmy ile jest tych miejsc, ale zanim do tego dojdziemy przygorujmy sobie grunt.
Jeden polityk na \(12\) stołkach może usiąść na \(12\) sposobów (logiczne nie?
). Dwuch politycków moze usiąść na \(12-1=11\)sposobów, natomiast trzech polityków może usiąść na \(12-2=10\) sposobów.
To poszło mamy juz załatwionych polityków z jednej partii, mogą oni usiąść na \(6\cdot 10=30\)sposobów.
Teraz policzymy na ile sposobów mogą usiąść pozostali politycy (podczas gdy ci z partii \(X\) siedzą już obok siebie). Jest ich \(9\)-ciu.
Kożystamy jak na początku ze wzoru na permutacje:
\(P_9 = 9!\)
To jest nasza liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A (Politycy siedzą obok siebie).
Mnożymy wszystkie wyniki \(6 \cdot 10 \cdot 9! = 6\cdot 10!\)
II sposób
Możemy do tego dojść poprzez trochę inne rozumowanie. Trzech polityków z partii \(X\) możemy potraktować jako jedność. Więc jeśli trzech polityków zamkniemy w pudle to będziemy traktować go jako jednego (pudło). Wtedy polityków będzie \(12-2=10\).
Tych dziesięciu polityków może usiąść między sobą na \(P_{10} =10!\) sposobów. Teraz w każdym miejscu gdzie było pudło jest trzech polityków którzy mogą być ustawieni na \(3!=6\) sposobów. Liczba zdarzeń sprzyjających (takie w ktorym politycy \(X\) siedzą obok siebie) wynosi \(|A| =10!\cdot 6\)
\(2^\circ\)
Mamy pierwszą część zadania, policzyliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających, teraz czas na łatwiejszą część, liczymy ilość wszystkich możliwych zdarzeń.
Skożystamy ze znanego juz wzoru na ilość permutacji \(P_n = n!\)
Wszystkich polityków jest \(12\), policzmy ile jest permutacji:
\(P_{12} =12!\)
Mamy. Nasza \(|\Omega| = 12!\) (liczba możliwych zdarzeń elemenarnych)
\(3^\circ\)
Ostatnia część zadania. Będziemy liczyć prawdopodobieństwo przy użyciu tego wzoru:
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\)
Mamy juz \(|A| =10!\cdot 6\), mamy \(|\Omega| = 12!\), podstawiamy.
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6\cdot 10!}{12!}=\frac {6\cdot 10!}{10!\cdot 11 \cdot 12} = \frac{1}{22} \approx 0,0(45)\). W procentach \(0,0(45) \cdot 100\% \approx 4,(545)\%\) co w zaokrągleniu do części dziesiętnych da nam \(P(A)\approx 4,6\%\). Część ludzi zaokrągliłaby tak:\(P(A)\approx 4,5\%\),
ja jednak żyje w głębokim przekonaniu, że moje przybliżenie jest poprawne, tak nauczono mnie w szkole.
Odp. Prawdopodobieństwo zaistnienia zdarzenia \(A\) wynosi \(P(A)\approx 4,6\%\).
Pozdrawiam.
Zaczniemy od wyliczenia wszystkich mozliwych przypadków kiedy to politycy z partii \(X\) siedzą obok siebie.
Skożystamy z permutacji \(P_n=n!\).
Na początek wyliczymy na ile sposobów politycy z partii \(X\) mogą usiąść obok siebie. Następnie na ile sposobów mogą usiąść pozostali politycy po czym wyniki pomnożymy otrzymując liczbę zdarzeń sprzyjających. Później policzymy na ile sposobów mogą usiąść wszyscy politycy co nam da \(|\Omega|\) (moc omega). I w końcu policzymy prawdopodobieństwo. Zadanie podzielimy na trzy części.
Mamy plan, więc działamy:
\(1^\circ\)
I sposób
Polityków z partii \(X\) jest trzech, wiec \(P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3\cdot = 6\). Mogą oni usiąść obok siebie na \(6\) sposobów. Ale mamy \(12\) stołków, więc mogą się umiejscowić w różnych miejscach
(na \(6\) sosobów). Policzmy ile jest tych miejsc, ale zanim do tego dojdziemy przygorujmy sobie grunt.
Jeden polityk na \(12\) stołkach może usiąść na \(12\) sposobów (logiczne nie?
). Dwuch politycków moze usiąść na \(12-1=11\)sposobów, natomiast trzech polityków może usiąść na \(12-2=10\) sposobów.To poszło mamy juz załatwionych polityków z jednej partii, mogą oni usiąść na \(6\cdot 10=30\)sposobów.
Teraz policzymy na ile sposobów mogą usiąść pozostali politycy (podczas gdy ci z partii \(X\) siedzą już obok siebie). Jest ich \(9\)-ciu.
Kożystamy jak na początku ze wzoru na permutacje:
\(P_9 = 9!\)
To jest nasza liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A (Politycy siedzą obok siebie).
Mnożymy wszystkie wyniki \(6 \cdot 10 \cdot 9! = 6\cdot 10!\)
II sposób
Możemy do tego dojść poprzez trochę inne rozumowanie. Trzech polityków z partii \(X\) możemy potraktować jako jedność. Więc jeśli trzech polityków zamkniemy w pudle to będziemy traktować go jako jednego (pudło). Wtedy polityków będzie \(12-2=10\).
Tych dziesięciu polityków może usiąść między sobą na \(P_{10} =10!\) sposobów. Teraz w każdym miejscu gdzie było pudło jest trzech polityków którzy mogą być ustawieni na \(3!=6\) sposobów. Liczba zdarzeń sprzyjających (takie w ktorym politycy \(X\) siedzą obok siebie) wynosi \(|A| =10!\cdot 6\)
\(2^\circ\)
Mamy pierwszą część zadania, policzyliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających, teraz czas na łatwiejszą część, liczymy ilość wszystkich możliwych zdarzeń.
Skożystamy ze znanego juz wzoru na ilość permutacji \(P_n = n!\)
Wszystkich polityków jest \(12\), policzmy ile jest permutacji:
\(P_{12} =12!\)
Mamy. Nasza \(|\Omega| = 12!\) (liczba możliwych zdarzeń elemenarnych)
\(3^\circ\)
Ostatnia część zadania. Będziemy liczyć prawdopodobieństwo przy użyciu tego wzoru:
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\)
Mamy juz \(|A| =10!\cdot 6\), mamy \(|\Omega| = 12!\), podstawiamy.
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6\cdot 10!}{12!}=\frac {6\cdot 10!}{10!\cdot 11 \cdot 12} = \frac{1}{22} \approx 0,0(45)\). W procentach \(0,0(45) \cdot 100\% \approx 4,(545)\%\) co w zaokrągleniu do części dziesiętnych da nam \(P(A)\approx 4,6\%\). Część ludzi zaokrągliłaby tak:\(P(A)\approx 4,5\%\),
ja jednak żyje w głębokim przekonaniu, że moje przybliżenie jest poprawne, tak nauczono mnie w szkole.
Odp. Prawdopodobieństwo zaistnienia zdarzenia \(A\) wynosi \(P(A)\approx 4,6\%\).
Pozdrawiam.