Wyznaczyć funkcję tworzącą (generującą)

[kaszlok]

\(a_{n+3} -3a_{n+2}+4a_n=0\)

Jak tego dokonać? Nie wiem na ten temat nic :<

[kaszlok]

nie za bardzo są informacje

[kacper218]

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... rz%C4%85ce
http://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materi ... cje_tw.pdf
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... rz%C4%85ce
http://1rok.info-wyspa.net.pl/wyspa/2se ... orzace.pdf
http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_tworz%C4%85ca
Są to pierwsze 5 wyników z google na temat "funkcje tworzące", więc nie mów że nie ma - po prostu nie szukasz.

[kaszlok]

Czysta teoria to jest, ale to jeszcze trzeba zrozumieć, a ja wolę na przykładach na takim ciągu jaki ja mam, o to mi chodziło

[kacper218]

Przykłady też są. Link nr 3

[kaszlok]

Dobra, powiedzmy, że mamy taki ciąg:

\(a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=n\) , \(a_0=0, a_1=0, a_2=-1\)

Doszedłem do momentu:

m=n+3

\(\sum_{m=3}^{ \infty } a_m T^m - 6\sum_{m=2}^{ \infty } a_m T^{m+1} + 12 \sum_{m=1}^{ \infty } a_m T^{m+2} - 8\sum_{m=0}^{ \infty } a_m T^{m+3} = \sum_{m=0}^{ \infty } m T^{m+3}\)

Co dalej ?

[kacper218]

Osobiście nie znam się na tym zbytnio (dopiero się uczę ), ale raczej powinniśmy mieć ciąg którego wyznaczamy funkcję tworzącą. Ty na razie masz równanie rekurencyjne.

[kaszlok]

Tyle to ja wiem, że coś powinno być

[kaszlok]

Chyba za trudne rzeczy dałem...

[miodzio1988]

przecież tam jest całe rozwiązanie...

[kaszlok]

To co ja podałem to nie jest całe rozwiązanie przecież, potem sie jeszcze rozpisuje tylko nie wiem według jakiego wzoru, ma ktoś taki wzór?

Coś na zasadzie 1/(1-t)^x+1

[octahedron]

\(a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=n
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^n-6\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^n+12\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^n-8\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n
\sum_{n=0}^\infty a_{n+3}x^{n+3}-6x\sum_{n=0}^\infty a_{n+2}x^{n+2}+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}x^{n+1}-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}
\sum_{n=3}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=2}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=1}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=x^4\(\sum_{n=1}^\infty x^n\)'
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-6x\sum_{n=0}^\infty a_nx^n+12x^2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-8x^3\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=
=(a_0+a_1x+a_2x^2+6a_0x+6a_1x^2+12a_0x^2)+x^4\(\frac{x}{1-x}\)'
(1-6x+12x^2-8x^3)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-x^2+\frac{x^4}{(1-x)^2}
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=-\frac{x^2}{(1-x)^2(1-2x)^2}=-\frac{4}{2x-1}-\frac{1}{(2x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{4}{1-2x}-\(\frac{1}{2(1-2x)}\)'-\frac{2}{1-x}-\(\frac{1}{1-x}\)'=
=4\sum_{n=0}^\infty (2x)^n-\frac{1}{2}\(\sum_{n=0}^\infty (2x)^n\)'-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\(\sum_{n=0}^\infty x^n\)'=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=1}^\infty n2^{n-1}x^{n-1}-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=
=\sum_{n=0}^\infty 2^{n+2}x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)2^nx^n-2\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty \[2^{n+2}-(n+1)2^n-2-(n+1)\]x^n=
=\sum_{n=0}^\infty \[(3-n)2^n-n-3\]x^n
\fbox{a_n=(3-n)2^n-n-3}\)